மகாவீராசாரியரின் கணித சார சங்கிரகம், ராஷ்டிரகூட மன்னர் அமோகவர்ஷரின் கீழ் ஏறத்தாழ கிபி 850இல் எழுதப்பட்டு, பின்னங்கள் முதல் நீள்வட்டம் வரையிலான விதிகளையும் தீர்க்கப்பட்ட கணக்குகளையும் கொண்ட ஒன்பது அத்தியாயங்களையும் 1,130க்கும் மேற்பட்ட செய்யுள்களையும் தாங்கியுள்ளது

மகாவீராசாரியரின் கணித சார சங்கிரகம், ஏறத்தாழ கிபி 850இல் எழுதப்பட்டது, ஒன்பது அத்தியாயங்கள் கொண்ட ஒரு சமணக் கணிதவியலாளரின் பாடநூல். கணித வரலாற்றாசிரியர் தகாவோ ஹயாஷி எழுதிய பிரிட்டானிக்கா பதிவு, விதிகளும் தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளும் கொண்ட 1,130க்கும் மேற்பட்ட செய்யுள்களை எண்ணுகிறது. அவை எண் பெயர்கள், பின்னங்கள் தொடங்கி சமன்பாடுகள், தொடர்கள், பரப்புகள், கனஅளவுகள் வழியாக நிழல்கள் வரை செல்கின்றன.

இது தெற்கு தக்காணத்தில், ராஷ்டிரகூட மன்னர் அமோகவர்ஷரின் ஆட்சிக் காலத்தில் இயற்றப்பட்டது. இதன் முதல் அத்தியாயம் இருபத்தி நான்கு தசம இடங்களுக்குப் பெயரிடுகிறது, பூஜ்ஜியம் மற்றும் எதிர்மறை எண்களுடனான கணிதத்துக்கு விதிகள் தருகிறது; பிந்தைய அத்தியாயங்கள் வாழைக்காய்க் குவியல்கள், தவறவிட்ட பணப்பை, அம்புறாத்தூணியில் உள்ள அம்புகள் பற்றிய கணக்குகளை எழுப்புகின்றன. பிரம்மகுப்தரின் பூஜ்ஜிய விதிகள் இரண்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பே வந்துவிட்டன; மகாவீராசாரியரின் நூலை பிரம்மகுப்தரின் நூலின் புதுப்பிப்பு என்று மெக்டியூட்டர் (MacTutor) விவரிக்கிறது.

தொடக்கச் செய்யுள்களிலேயே ஒரு மன்னரின் பெயர் கொண்ட பாடநூல்

கணித சார சங்கிரகம் தனது காலத்தைத் தானே தருவதில்லை. சமண ஆசிரியர் மகாவீரருக்கான இரண்டு வணக்கச் செய்யுள்களுக்குப் பிறகு, முதல் அத்தியாயம் ஆறு செய்யுள்களை ஒரு மன்னரைப் புகழவும் அவரது ஆட்சி செழிக்க வாழ்த்தவும் செலவிடுகிறது. செய்யுள்கள் அவரை அமோகவர்ஷர் என்றும் சக்ரிகபஞ்சனன் என்றும் அழைக்கின்றன; கடைசி வாழ்த்து நிருபதுங்கன் என்ற பெயரைக் குறிக்கிறது. நூலின் 1912ஆம் ஆண்டுப் பதிப்பாசிரியரும் மொழிபெயர்ப்பாளருமான ரங்காசார்யா அவரை ராஷ்டிரகூட மன்னர் அமோகவர்ஷ நிருபதுங்கன் என்று அடையாளப்படுத்தினார். கல்வெட்டு ஆய்வு அவரது ஆட்சியை 814 அல்லது 815 முதல் 877 அல்லது 878 வரை என்று நிறுத்துவதாகவும், ஆகவே நூல் ஒன்பதாம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதிக்குரியது என்றும் அவர் எழுதினார்.

கல்வெட்டுகள் அந்தக் காலப்பகுதிக்குப் பொருந்துகின்றன. 1882இல் கன்னடம் பேசும் மாவட்டங்களில் முதலாம் அமோகவர்ஷரின் பதிவுகளைப் பட்டியலிட்ட ஃபிளீட், கன்ஹேரி குகைகளில் இரண்டைக் குறிப்பிடுகிறார்: ஒன்று சக 773 (கிபி 851 முதல் 852 வரை; 775 என்பதன் திருத்தமாக அவர் தரும் எண்), மற்றொன்று சக 799 (கிபி 877 முதல் 878 வரை). அந்த அரச மரபு பற்றிய பிரிட்டானிக்கா பதிவும் அதே ஆட்சிக் காலத்தை, ஏறத்தாழ 814 முதல் 878 வரை என்று தருகிறது; ராஷ்டிரகூடர்கள் கன்னடம் பேசினர் என்றும் கூறுகிறது. அறியப்பட்ட மிகப் பழைய கன்னடக் கவிதையான கவிராஜமார்க்கத்தின் ஒரு பகுதியை அமோகவர்ஷரே எழுதினார் என்றும் அது சேர்க்கிறது. அந்த அரச மரபின் முந்தைய மன்னர் முதலாம் கிருஷ்ணருக்கே எல்லோராவின் கைலாசக் கோயிலை பிரிட்டானிக்கா உரிமையாக்குகிறது.

கணிதவியலாளரைப் பற்றி, அவர் ஒரு சமணர் என்றும் அமோகவர்ஷரின் ஆட்சியில் எழுதினார் என்றும் மட்டுமே பிரிட்டானிக்கா சொல்கிறது. சனாதன் கோலே, இந்திய அறிவியல் வரலாற்று இதழில் 2025இல் வெளியிட்ட கட்டுரையில், அவரை ஒரு திகம்பர சமணர் என்றும், தனக்கு முன்னோடிகளைப் போல் வானியலாளர் அல்லாதவர் என்றும், அவரது பணி கணிதத்துக்குள்ளேயே அடங்கியது என்றும் குறிப்பிடுகிறார். அவர் மைசூரிலோ அதன் அருகிலோ பிறந்திருக்கலாம் என்று மெக்டியூட்டர் சொல்கிறது. ரங்காசார்யாவின் பதிப்புக்கு அறிமுகம் எழுதிய டேவிட் யூஜீன் ஸ்மித், மகாவீராசாரியர் மன்னரின் அவையில் “வாழ்ந்திருக்கக்கூடும்” என்று கருதினார். இது தொடக்கச் செய்யுள்களிலிருந்து செய்யப்பட்ட ஊகம்; ஆசிரியர் அவையுடன் “ஏதோ ஒரு வகையில் இணைந்தவர்” என்பதே ரங்காசார்யாவின் சொற்றொடர். எந்த ஆதரவாளரின் பெயரையும் மெக்டியூட்டர் குறிப்பிடவில்லை.

இருபத்தி நான்கு இடங்களும் பூஜ்ஜிய விதிகளும்

முதல் அத்தியாயம் ஒரு தசம எண்ணின் இடங்களை ஒன்றுகளின் இடத்திலிருந்து மேல்நோக்கிப் பட்டியலிடுகிறது. ஆறாவது இலட்சம், எட்டாவது கோடி; பட்டியல் இருபத்தி நான்காவது இடமான மகாக்ஷோபம் வரை தொடர்கிறது. ஒவ்வோர் இடமும் அதற்கு முந்தையதைவிடப் பத்து மடங்கு மதிப்புள்ளது என்று ரங்காசார்யாவின் முன்னுரை குறிப்பிடுகிறது. அதே அத்தியாயத்தின் 49 முதல் 52 வரையிலான செய்யுள்கள் பூஜ்ஜியத்துக்கும், நேர் மற்றும் எதிர் அளவுகளுக்குமான விதிகளை வகுக்கின்றன.

ஓர் எண்ணைப் பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கினால் பூஜ்ஜியம் என்றும், பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டினால் எண் இருந்தபடியே இருக்கும் என்றும் செய்யுள் கூறுகிறது. இரண்டு எதிர்மறைகளையோ இரண்டு நேர்மறைகளையோ பெருக்கினாலும் வகுத்தாலும் நேர்மறை கிடைக்கும்; ஒன்று நேர், ஒன்று எதிர் என்றால் எதிர்மறை கிடைக்கும். கழிக்கப்படும் நேர் அளவு எதிர்மறையாகிறது; கழிக்கப்படும் எதிர் அளவு நேர்மறையாகிறது. நேர் அல்லது எதிர் அளவின் வர்க்கம் நேர்மறை. எதிர் எண் வர்க்கம் அல்ல, எனவே அதற்கு வர்க்கமூலம் இல்லை என்று செய்யுள் காரணம் காட்டுகிறது; இதைப் பிரிட்டானிக்காவும் பதிவு செய்கிறது.

வகுத்தல் குறித்து, பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்படும் எண் மாறாமல் இருக்கும் என்று 49ஆம் செய்யுள் கூறுகிறது. இது தவறு என்றும், பிற்காலத்தில் பாஸ்கரர் ஈவை முடிவிலி என்று தந்தார் என்றும் ரங்காசார்யாவின் அடிக்குறிப்பு வெளிப்படையாகச் சொல்கிறது. மெக்டியூட்டரின் பூஜ்ஜிய வரலாறும் இதையே கூறுகிறது; பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பது பற்றிய பிரம்மகுப்தரின் கூற்றுகளை மேம்படுத்த மகாவீரர் மேற்கொண்ட முயற்சி அவரைப் பிழைக்கு இட்டுச்சென்றது என்று அது குறிப்பிடுகிறது. தசம முறை மற்றும் பூஜ்ஜியக் குறியின் பரந்த கதை இந்தியாவும் பூஜ்ஜியமும் பற்றிய கட்டுரையிலும், பாஸ்கரரின் பணி லீலாவதி பற்றிய கட்டுரையிலும் உள்ளன.

பின்னங்கள், தூளாக்கிகள், கணக்குச் செய்யுள்கள்

ஒரு பின்னத்தை அலகுப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கும் முறைகளை மகாவீராசாரியர் தந்தார் என்று மெக்டியூட்டர் கூறுகிறது; எடுத்துக்காட்டு 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68. இந்த மூன்று பின்னங்களும் உண்மையில் 2/17க்குச் சமம், ஏனெனில் பொது வகுப்பி 204இல் அவை 17, 4, 3 ஆகின்றன; அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 24. மூன்றாம் அத்தியாயத்தில், மேலே 1 உள்ள ஐந்து, ஆறு அல்லது ஏழு வெவ்வேறு பின்னங்கள் கூட்டினால் 1 வருமாறு வகுப்பிகளைக் கண்டுபிடிக்குமாறு வாசகரிடம் கேட்டு, தொடர்புடைய ஒரு புதிரை அவர் வைக்கிறார்.

கலப்புக் கணக்குகள் பற்றிய ஆறாம் அத்தியாயத்தில் குட்டிகாரம் அல்லது தூளாக்கி முறை உள்ளது; சமன்பாடுகளுக்கு முழு எண் தீர்வுகள் காணும் இந்த முறை யூக்ளிடிய படிமுறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது என்று மெக்டியூட்டர் விவரிக்கிறது. 117½ஆம் செய்யுளில் உள்ள ஒரு வழக்கமான எடுத்துக்காட்டு, 63 சம வாழைக்காய்க் குவியல்களில் ஒன்றின் அளவைக் கேட்கிறது. ஏழு பழங்கள் மேலும் சேர்க்கப்பட்டு, மொத்தம் எதுவும் மிஞ்சாமல் 23 பயணிகளிடையே பகிரப்படுகிறது. விடைகளின் பிற்சேர்க்கை 5 என்று தருகிறது; கணக்கும் சரியாக வருகிறது: 63 ஐந்தால் பெருக்கி 7 சேர்த்தால் 322, அது 23 ஐ 14ஆல் பெருக்கியது.

விதியின் கூட்டுப் பதிப்பு ஏன் வெற்றி பெறுகிறது என்பது ரங்காசார்யாவின் குறிப்புகளில் விளக்கப்பட்டுள்ளது. ஓர் எண் இத்தகைய இரண்டு நிபந்தனைகளை ஒரே நேரத்தில் நிறைவு செய்ய வேண்டியிருக்கும்போது, இரண்டு வகுப்பிகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கை முதல் தீர்வுடன் கூட்டுவதால் அடுத்த தீர்வு வரும் என்று அவர் காட்டுகிறார். அந்த விளக்கம் அவரது அடிக்குறிப்பில் உள்ளது, செயல்முறையை மட்டுமே தரும் மகாவீராசாரியரின் செய்யுளில் அல்ல.

236, 237ஆம் செய்யுள்கள் ஒரு பணப்பையைக் கண்டெடுக்கும் மூன்று வணிகர்களைப் பற்றிய கணக்கை வைக்கின்றன. பணப்பையுடன் தன்னிடம் மற்ற இருவரிடமும் சேர்ந்ததைப் போல் இரு மடங்கு இருக்கும் என்று முதலாமவர் சொல்கிறார்; இரண்டாமவர் மூன்று மடங்கு என்கிறார்; மூன்றாமவர் ஐந்து மடங்கு என்கிறார். முழு எண்களில் மிகச் சிறிய விடையை மெக்டியூட்டர் தருகிறது: பணப்பையில் 15 உள்ளது, வணிகர்களிடம் 1, 3, 5. சரிபார்ப்பு: 15 கூட 1 என்பது 16, அது 3 கூட 5 என்பதன் இரு மடங்கு. 15 கூட 3 என்பது 18, அது 1 கூட 5 என்பதன் மூன்று மடங்கு. 15 கூட 5 என்பது 20, அது 1 கூட 3 என்பதன் ஐந்து மடங்கு.

288ஆம் செய்யுள் அம்புறாத்தூணியில் கட்டப்பட்ட அம்புகளை எண்ணுவதற்கான விதியைத் தருகிறது. வெளிவட்டத்தில் உள்ள அம்புகளின் எண்ணிக்கையுடன் 3 கூட்டி, கூட்டுத்தொகையை வர்க்கம் செய்து, 3 கூட்டி, 12ஆல் வகுக்க வேண்டும். அடுத்த செய்யுள் வெளிவட்டத்தில் 18 அம்புகள் உள்ள நிலையைக் கேட்கிறது; அதற்கு 37 கிடைக்கிறது. அது நடுவில் 1, மேலும் 6, 12, 18 கொண்ட வளையங்கள். ஆறு சம வட்டங்கள் ஏழாவது ஒன்றைச் சுற்றிப் பொருந்தும் என்ற உண்மையின் மீது இந்த விதி அமைந்துள்ளது என்று ரங்காசார்யாவின் குறிப்பு விளக்குகிறது; இதைச் சரியான சூத்திரமாகப் படிக்கும் கோலே அந்தக் குறிப்பை மேற்கோள் காட்டுகிறார்.

வட்டங்கள், நாற்கரங்கள், ஒரு நீள்வட்டம்

ஏழாம் அத்தியாயம் பரப்புகளால் நிறைந்துள்ளது. வட்டத்துக்கு, 19ஆம் செய்யுள் சுற்றளவை விட்டத்தின் மூன்று மடங்காகவும், பரப்பை விட்டத்தின் பாதியின் வர்க்கத்தின் மூன்று மடங்காகவும் எடுக்கிறது. பை (pi) என்பதை 3 என்று எடுப்பதால் இரண்டும் தோராயமானவை என்று ரங்காசார்யாவின் அடிக்குறிப்பு கூறுகிறது. இன்னும் துல்லியமான பணிக்கு, சமணர்களின் மரபான மதிப்பான 10இன் வர்க்கமூலத்தை மகாவீராசாரியர் பயன்படுத்தினார் என்று பிரிட்டானிக்கா சேர்க்கிறது. பிரம்மகுப்தரும் மகாவீராசாரியரும் இருவருமே 3ஐயும் 10இன் வர்க்கமூலத்தையும் பயன்படுத்தினர் என்றும், இருவருமே ஆர்க்கிமிடீஸ் அல்லது ஹெரானின் பணியை அறிந்திருந்ததாகத் தெரியவில்லை என்றும் ஸ்மித் குறிப்பிட்டார்.

50ஆம் செய்யுள், நான்கு அளவுகளின் பெருக்கற்பலனின் வர்க்கமூலத்தை எடுக்கும் சூத்திரத்தைத் தருகிறது; அந்த நான்கும் ஒவ்வொன்றும் பக்கங்களின் அரைக்கூட்டுத்தொகையிலிருந்து ஒரு பக்கத்தைக் கழித்தது. இது நான்கு பக்க வடிவத்தின் பரப்புக்கான பிரம்மகுப்தரின் சூத்திரம் என்றும், ஒரு பக்கத்தைப் பூஜ்ஜியமாக்கினால் முக்கோணத்தின் பரப்பு கிடைக்கும் என்றும் கோலே சுட்டிக்காட்டுகிறார். நான்கு மூலைகளும் ஒரு வட்டத்தின் மீது இருக்கும்போது மட்டுமே இது பொருந்தும் என்று உரை சொல்கிறதா என்பதில் அறிஞர்கள் வேறுபடுகின்றனர். ஸ்மித்தின்படி, பிரம்மகுப்தரும் மகாவீராசாரியரும் இதைக் குறிப்பிடவில்லை. கோலேயின் வாசிப்பில் அது உட்கிடையாக உள்ளது; 57 முதல் 59 வரையிலான செய்யுள்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் அனைத்தும் அத்தகையவையே.

கோலே நீள்வட்டத்தைத் தனித்துக் காட்டுகிறார். இந்த நூலைத் தவிர, வேறு எந்த இந்தியக் கணிதப் படைப்பிலும் நீள்வட்டத்தின் அளவுக்கான சூத்திரம் இல்லை என்று அவர் எழுதுகிறார். 21ஆம் செய்யுள், குட்டை விட்டத்தின் பாதியை நீள விட்டத்துடன் கூட்டி, கூட்டுத்தொகையை இரட்டிப்பாக்கிச் சுற்றளவைப் பெறவும், அதை குட்டை விட்டத்தின் கால் பங்கால் பெருக்கிப் பரப்பைப் பெறவும் கூறுகிறது. விட்டங்கள் 12, 36 கொண்ட தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுக்கு, விடைகளின் பிற்சேர்க்கையில் 84, 252 என்று தரப்பட்டுள்ளது. 63ஆம் செய்யுள் “துல்லியமான” இரண்டாவது விதி இணையை முன்வைக்கிறது. உண்மையான பரப்பு, இரண்டு அரை அச்சுகளின் பெருக்கற்பலனின் பை மடங்கு என்பதால், கோலேயின் மதிப்பீட்டில் இரண்டு விதிகளும் தவறானவை. ஆயினும் அவர் இந்த முயற்சியைப் பாராட்டத்தக்கது என்கிறார், ஏனெனில் கிரேக்கத்தில் வெகு காலத்துக்கு முன் தொடங்கிய கூம்பு வெட்டுகளின் ஆய்வை அது இந்தியாவில் அறிமுகப்படுத்தியது.

இரண்டு சமமற்ற அரைவட்டங்களை அவற்றின் விட்டங்களில் இணைத்து உருவாகும் சங்கு போன்ற தளவடிவத்துக்கும் இந்த உரை விதிகள் தருகிறது என்று மெக்டியூட்டர் கூறுகிறது. இத்தகைய சூத்திரங்கள் இதுவரை மகாவீரர், நாராயணர் ஆகியோரின் படைப்புகளில் மட்டுமே கண்டறியப்பட்டுள்ளன என்று ஹயாஷியை அது மேற்கோள் காட்டுகிறது. வரிசைமாற்றங்களும் சேர்மானங்களும் இந்த நூலில் உள்ளன என்று பிரிட்டானிக்கா கூறுகிறது; அவற்றைச் சமணர்களின் மரபான பாடங்கள் என்கிறது. எட்டாம் அத்தியாயத்தில் உள்ள கோளத்தின் கனஅளவுக்கான விதி கிட்டத்தட்ட சரியானது என்று கோலே எழுதுகிறார்.

தெற்கில் பயன்பாட்டில் நீடித்த நூல்

ரங்காசார்யாவின் முன்னுரை அவர் பயன்படுத்திய கையெழுத்துப் படிகளை விவரிக்கிறது. மொத்தம் ஐந்து: முதல் ஐந்து அத்தியாயங்களுக்குச் சமஸ்கிருத உரையுடன் கிரந்த எழுத்தில் ஒன்று, கன்னட எழுத்தில் இரண்டு பனையோலைப் படிகள், மைசூர் அரசு கீழைத்தேய நூலகத்திலிருந்து ஒன்று, தென் கன்னடத்தில் மூடபித்ரியில் உள்ள ஒரு சமண மடத்திலிருந்து ஒன்று. மைசூர்ப் படியில் வல்லபர் என்பவர் எழுதிய ஒரு சிறு கன்னட உரை இருந்தது. இந்த நூல் தென்னிந்தியாவில் பரவலாக அறியப்பட்டு மதிக்கப்பட்டதாகத் தெரிகிறது என்று ரங்காசார்யா எழுதுகிறார்; பதினொன்றாம் நூற்றாண்டில் பாவுலூரி மல்லனா தெலுங்குச் செய்யுள் மொழிபெயர்ப்பைச் செய்தார். கோலேயும் அதே மொழிபெயர்ப்புக் காலத்தைத் தருகிறார்.

இந்த நூல் செய்யுள் வடிவ மற்ற நூல்களைப் போலவே சுருக்கமானது என்றாலும், கற்பிக்கும் நோக்கில் “முந்தைய நூல்களை விடக் குறிப்பிடத்தக்க நன்மை கொண்டது” என்று பிலியோசா கூறியதாக மெக்டியூட்டர் மேற்கோள் காட்டுகிறது. ஐரோப்பிய அறிஞர்களுக்கு ஏறத்தாழ அறிமுகமில்லாத ஓர் எழுத்தாளரை இந்தப் பதிப்பு வெளிப்படுத்தியது என்று 1912இல் ஸ்மித் எழுதினார். பாஸ்கரருக்கு இந்த நூல் தெரிந்திருந்ததா என்று சொல்வது எளிதல்ல என்று ரங்காசார்யா கூறுகிறார், ஏனெனில் பாஸ்கரரோ அவரது அறியப்பட்ட உரையாசிரியர் எவருமோ இதை மேற்கோள் காட்டியதாகவோ ஆசிரியரின் பெயரைக் குறிப்பிட்டதாகவோ தெரியவில்லை; இந்தக் கட்டுரை எந்தச் செல்வாக்கையும் கூறவில்லை.

ஆதாரங்கள் எங்கே வேறுபடுகின்றன

ஸ்மித், கோலே, பிரிட்டானிக்கா, மெக்டியூட்டரின் வாழ்க்கை வரலாறு ஆகிய அனைத்தும் நூலின் காலத்தை ஏறத்தாழ 850 என்று குறிப்பிடுகின்றன. தனிப் பக்கமான மெக்டியூட்டரின் பூஜ்ஜிய வரலாறு 830 என்கிறது. வாழ்க்கைக் காலங்களும் மாறுபடுகின்றன: மெக்டியூட்டர் ஏறத்தாழ 800 முதல் 870 வரை என்றும், கோலே ஏறத்தாழ 800 முதல் 875 வரை என்றும் தருகின்றன; அவர் ஏறத்தாழ 850இல் செயல்பட்டார் என்று மட்டுமே பிரிட்டானிக்கா கூறுகிறது.

இதுவே முழுவதும் கணிதத்துக்கு மட்டுமான மிகப் பழைய இந்திய நூல் என்ற கூற்று, நூலைப் பற்றி அப்படிக் கூறும் மெக்டியூட்டரையும், அதை மீண்டும் கூறும் கோலேயையும் சார்ந்துள்ளது. ஏறத்தாழ கிபி 750ஐச் சேர்ந்த ஸ்ரீதரரின் திரிசதிகா கணிதத்தை மட்டுமே கையாள்கிறது என்று கோலேயின் சொந்த அறிமுகம் கூறுகிறது. இங்கே பார்க்கப்பட்ட ஆதாரங்கள் இந்த இரண்டு கூற்றுகளையும் இணைக்கவில்லை, எனவே இந்தக் கட்டுரை மிகை நிலைச் சொல்லைப் பயன்படுத்தவில்லை. ரங்காசார்யா தனது முன்னுரையை 1912 பிப்ரவரியில் மதராஸில் கையொப்பமிட்டார்.