பக்ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதியின் 70 பூர்ஜ மரப்பட்டை ஏடுகளில் நூற்றுக்கணக்கான புள்ளிப் பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன; ஆக்ஸ்போர்டின் சமீபத்திய காலக்கணிப்பு ஐந்து ஏடுகளின் மரப்பட்டையை பொ.ஊ. 773 முதல் 1032 வரை வைக்கிறது

பக்ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதி என்பது சமஸ்கிருத விதிகளும் தீர்க்கப்பட்ட கணக்குகளும் எழுதப்பட்ட 70 பூர்ஜ மரப்பட்டை ஏடுகள்; அவற்றில் பூஜ்ஜியத்துக்கான புள்ளி நூற்றுக்கணக்கான முறை வருகிறது. அதை வைத்திருக்கும் ஆக்ஸ்போர்டு கதிரியக்கக் கார்பன் ஆய்வகமும் போட்லியன் நூலகங்களும் தங்கள் 2024 அறிக்கையில் அதை “தெற்காசியக் கணிதப் படைப்பின் இன்றுள்ள சான்றுகளில் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக மிகப் பழமையானது” என்று கூறுகின்றன. அந்த அறிக்கை அதன் ஐந்து ஏடுகளின் மரப்பட்டையைப் பொ.ஊ. 773 முதல் 1032 வரைக்குள் காலக்கணிப்புச் செய்கிறது.

அந்தக் காலம் ஏற்கெனவே ஒருமுறை மாறியது. 2017 செப்டம்பரில் அதே நிறுவனங்கள், ஓர் ஏடு கி.பி. 3 அல்லது 4ஆம் நூற்றாண்டளவுக்குப் பழமையானது என்று அறிவித்தன; தி கார்டியனும் பிற ஊடகங்களும் அதைச் செய்தியாக்கின. அந்த எண் ஏன் இனி நிலைக்கவில்லை என்பதை 2024 அறிக்கை விளக்குகிறது. உரையும் அதன் பூஜ்ஜியங்களும் மாறவில்லை; அளக்கப்பட்ட மரப்பட்டையின் வயது மட்டுமே நகர்ந்தது.

ஒரு கூலித்தொழிலாளி, ஒரு பாழடைந்த இடம், பெஷாவர் அருகே ஒரு கிராமம்

ஏடுகள் 1881 மே மாதம், இன்றைய பாகிஸ்தானில் பெஷாவருக்கு வடகிழக்கே சுமார் 80 கிலோமீட்டர் தொலைவில் உள்ள பக்ஷாலி கிராமத்தில் கண்டெடுக்கப்பட்டன. ஒரு விவசாயக் கூலித்தொழிலாளி அவற்றை ஒரு வயலிலிருந்தோ ஒரு பாழடைந்த இடத்திலிருந்தோ மீட்டார் என்றும், கண்டெடுப்பு பற்றிய தகவல்கள் துல்லியமானவை அல்ல என்றும் ஆக்ஸ்போர்டு அறிக்கை கூறுகிறது.

அப்போது இந்திய அரசின் தொல்லெழுத்தியலாளராக இருந்த ஜெர்மன் அறிஞர் ஏ. எஃப். ஆர். ஹோர்ன்லேயின் 1882 அறிக்கை, அந்தக் கையெழுத்துப் பிரதி ஒரு பாழடைந்த வளாகத்தில் கற்களுக்காகத் தோண்டிக்கொண்டிருந்த ஒருவரால் கண்டெடுக்கப்பட்டது என்கிறது. கண்டெடுத்தவர் அதை எடுத்தபோது அதில் பெரும்பாலானவை அழிந்துவிட்டன என்றும் ஹோர்ன்லே சேர்க்கிறார். எஞ்சிய துண்டுகளை அவர் ஆராய்ந்து, 1902இல் ஆக்ஸ்போர்டில் உள்ள போட்லியன் நூலகத்துக்கு வழங்கினார்; அவை அங்கே MS. Sansk. d. 14 என்ற அடையாளத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன.

உரையைப் பற்றி அறிஞர்கள் அறிந்தவற்றில் பெரும்பகுதி இன்னும் புகைப்படங்களிலிருந்தே வருகிறது. ஜி. ஆர். கேய் 1927இல் தம் பதிப்புடன் அவற்றை வெளியிட்டார். பிரிட்டிஷ் கொலம்பியா பல்கலைக்கழகக் கணிதவியலாளர் பில் காசல்மேன் கூறுவதன்படி, பிறகு அந்தத் துண்டுகள் மைக்கா தகடுகளுக்குள் பொதிக்கப்பட்டன. மரப்பட்டை மைக்காவில் ஒட்டிக்கொண்டு நூற்றுக்கணக்கான சிறு துண்டுகளாக உடைந்தது, நிறமும் கருத்தது. மைக்கா வழியாகவும் பக்கங்களை நன்றாகப் புகைப்படம் எடுக்க இன்னும் முடியும் போலத் தெரிகிறது என்று காசல்மேன் குறிப்பிடுகிறார்.

ஏடுகள் கற்பிப்பவை

உரை என்பது விதிகளும் மாதிரிக் கணக்குகளும் அடங்கிய தொகுப்பு; செய்யுளிலும் அதற்கான உரைநடை விளக்கத்திலும் எழுதப்பட்டுள்ளது. அதை வடமேற்கின் பிராந்திய மொழிகளால் தாக்கம் பெற்ற சமஸ்கிருதத்தில் அமைந்த “செய்யுளில் படிமுறைகளும் மாதிரிக் கணக்குகளும்” என்று ஆக்ஸ்போர்டு அறிக்கை விவரிக்கிறது. எழுத்து சாரதா எழுத்தின் ஒரு வகை; வூர்ஸ்பர்க் இந்தோஸ்கிரிப்ட் தரவுத்தளம் தான் பட்டியலிடும் ஏட்டை பிற்பட்ட முன்-சாரதா என்று குறிக்கிறது. காசல்மேன் விவரிக்கும் முறையில், ஒவ்வொரு விதியையும் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்தொடர்கின்றன, பிறகு விடையைச் சரிபார்க்கும் படி வருகிறது.

கணக்குகள் அன்றாட வாழ்வுக்குரியவை. 16, 17ஆம் ஏடுகளில் உள்ள ஒரு கலவைக் கணக்கு, வெவ்வேறு தூய்மையுள்ள தங்கக் கலவைகளைப் பற்றியது. மற்றவை, மேக்டியூட்டர் தெரிவிப்பதன்படி, மும்மை விதியை (அதன் எடுத்துக்காட்டு 50ஐ 12ஆல் பெருக்கி 8ஆல் வகுத்தால் 75 தினாரா என்று வருகிறது), தினக்கூலியும் கடனும் காரணமாக 30 நாட்களுக்குப் பிறகு சமநிலை அடையும் இரண்டு சிறுவர்களை, குதிரைகளின் விலை பற்றிய ஓர் அறுதியிடப்படாத கணக்கை உள்ளடக்குகின்றன. ஆக்ஸ்போர்டு கணிதவியலாளர் மார்கஸ் டு சவுடாய் 2017இல் அதன் தன்மையை “ஒருவர் இதை வாங்கி இதை விற்றால் அவரிடம் எவ்வளவு மிச்சம் இருக்கும்?” போன்ற கேள்விகள் என்று சுருக்கமாகச் சொன்னார்.

வர்க்கமூலங்களே சிறப்பான பகுதி. முழு வர்க்கங்கள் அல்லாத எண்களுக்கான கையெழுத்துப் பிரதியின் முறையை மேக்டியூட்டர் விளக்குகிறது; 41இன் வர்க்கமூலத்துக்கு அது தரும் மதிப்பு 6.403138528, உண்மை மதிப்பு 6.403124237, அதாவது நான்கு தசம இடங்கள் வரை சரியானது. 339,009க்கு அது பதினொரு தசம இடங்களைச் சரியாகப் பெறுகிறது. அதன் மிகப் பெரிய எண்களுக்கு நிகரான எதையும் வேறு பண்பாடுகளில் மிகப் பிற்காலம் வரை தாம் அறியவில்லை என்றும், தசமப் பின்னங்கள் இத்தகைய பணிக்குப் பிறகே அரபுக் கணிதவியலாளர்களால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்றும் காசல்மேன் கூறுகிறார்.

எழுத்தாளரின் இறுதிக் குறிப்பான முடிவுரை, சாஜகாவின் மகன் என்று விவரிக்கப்படும் ஒரு பிராமணர், தெற்காசியாவின் வடமேற்கிலுள்ள காந்தாரப் பகுதியில் ஓர் இடத்தில், வாசிஹாவின் மகன் ஹாசிகாவுக்கும் அவன் வழித்தோன்றல்களுக்கும் இந்தப் படைப்பை எழுதினார் என்று குறிப்பிடுகிறது. தகாவோ ஹயாஷி 1995இல் உரையைப் பதிப்பித்து மொழிபெயர்த்தார்; கீழே விவாதிக்கப்படும், அவர் இணை ஆசிரியராக உள்ள 2017 பதில், அந்தப் பதிப்பை உறுதியான ஆய்வு என்று கூறுகிறது. அவர் உரையை, தற்காலிகமாக, கி.பி. 7ஆம் நூற்றாண்டுக்கும், எஞ்சியுள்ள கையெழுத்துப் பிரதியைக் கி.பி. 8 முதல் 12ஆம் நூற்றாண்டுகளுக்கு இடையிலான ஏதோ ஒரு காலத்துக்கும் காலக்கணிப்புச் செய்தார்.

இரண்டு வேலைகளைச் செய்யும் புள்ளி

கையெழுத்துப் பிரதியில் பூஜ்ஜியம் ஒரு புள்ளி. 101இல் 0 செய்வதுபோல, ஓர் எண்ணில் காலி இடத்தைக் குறிக்கிறது; பின்னர் அதற்கு ஒரு வெற்று மையம் உருவாகி நவீன குறியீடாக மாறியது என்று 2017 ஆக்ஸ்போர்டு அறிவிப்பு கூறியது. கையெழுத்துப் பிரதி அதே புள்ளியை அறியப்படாத ஒரு அளவுக்கும் பயன்படுத்துகிறது, இயற்கணிதத்தில் ஒரு மாறியை ஒத்த முறையில் என்று 2017 பதிலின் ஆசிரியர்கள் சேர்க்கின்றனர்.

பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டு கணக்கிடுவதையும் விதிகள் காட்டுகின்றன. 22ஆம் ஏட்டில் உள்ள ஒரு கணக்கில், அறியப்படாத ஒன்றைக் குறிக்கும் புள்ளி 1ஆல் மாற்றப்படுகிறது; அந்தப் படி “பூஜ்ஜியத்துடன் ஒன்றைக் கூட்டி” செய்யப்படுகிறது என்று உரை கூறுகிறது. 47ஆம் ஏட்டில் மாதிரிக் கணக்கு 108625/65600, 59425/49200 ஆகிய பின்னங்களைப் பெருக்கி 6455040625/3227520000 என்று தருகிறது; எண்களுக்குள் இருக்கும் பூஜ்ஜியங்களில் கணிதச் செயல் இல்லாமல் அந்தக் கணக்கைக் கற்பனை செய்வது கடினம் என்று ஐந்து ஆசிரியர்கள் கூறுகின்றனர். பக்ஷாலிப் புள்ளியை ஆக்ஸ்போர்டின் 2017 வெளியீடு இடம் குறிப்பானாக விவரித்து, பூஜ்ஜியத்தை ஓர் எண்ணாக விவாதிக்கும் முதல் ஆவணமாகப் பொ.ஊ. 628இன் பிரம்மகுப்தரின் பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தத்தைக் குறிப்பிட்டது. பிரம்மகுப்தர் வகுத்த விதிகள் அவற்றுக்கான தனிக் கட்டுரையில் உள்ளன.

அந்தக் குறியீட்டின் பரந்த வரலாறு இந்தியா உலகுக்குக் கொடுத்த பூஜ்ஜியம் கட்டுரையில் உள்ளது. பக்ஷாலி ஏடுகள் அதிலுள்ள சான்றுகளில் ஒன்று; 2017 பதில் மற்றவற்றையும் பட்டியலிடுகிறது: செய்யுள் சந்தங்கள் பற்றிய கணக்குகளில் சமஸ்கிருதச் சொல்லான சூன்யம் (வெறுமை) ஏதோ ஒரு குறியீட்டுப் பயனுக்கு உதவியது; பொ.ஊ. 550 வாக்கில் உள்ள ஒரு நூல் ஒரு மாறிலியை “அறுபதிலிருந்து பூஜ்ஜியம் கழித்தது” என்று வரையறுக்கிறது; பல தொடக்கால நூல்கள் கம்புகளில் இடமதிப்பு எண்ணுவதை விவரிக்கின்றன.

2017 செப்டம்பர்: மூன்று ஏடுகள், மூன்று நூற்றாண்டுகள்

போட்லியன் 16, 17, 33ஆம் ஏடுகளிலிருந்து, மையிலிருந்து விலகிய இடங்களில், மூன்று சிறு மரப்பட்டை மாதிரிகளை எடுத்தது. டாக்டர் டேவிட் சிவால் உடன் பணியாற்றிய ஆக்ஸ்போர்டு கதிரியக்கக் கார்பன் முடுக்கி அலகு அவற்றை அளந்தது. போட்லியனின் ஜான் கிளே சமஸ்கிருத நூலகர் கமில்லோ ஃபோர்மிகாட்டி, 2017 செப்டம்பர் 14 அன்று அந்த வரம்புகளை அறிஞர்களின் மின்னஞ்சல் பட்டியலில் வெளியிட்டார், ஒவ்வொன்றும் 95.4 சதவீத நம்பகத்தன்மையில்: 16ஆம் ஏட்டுக்குப் பொ.ஊ. 224 முதல் 383 வரை, 17ஆம் ஏட்டுக்குப் பொ.ஊ. 680 முதல் 779 வரை (790 முதல் 868 வரை என்ற சிறிய இரண்டாம் இடைவெளியுடன்), 33ஆம் ஏட்டுக்குப் பொ.ஊ. 885 முதல் 993 வரை. மூன்றுக்கும் இடையே இவ்வளவு பெரிய வேறுபாட்டைக் குழு எதிர்பார்க்கவில்லை என்று அவர் எழுதினார்.

அந்த நாளே ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம் செய்தியை வெளியிட்டது; தி கார்டியன் அதைத் தனிச் செய்தியாக வெளியிட்டது. கையெழுத்துப் பிரதி கி.பி. 3 அல்லது 4ஆம் நூற்றாண்டளவுக்குப் பழமையானது என்றும், அறிஞர்கள் நம்பியதை விட சுமார் ஐந்து நூற்றாண்டுகள் முந்தையது என்றும், அதுவரை பதிவான மிகப் பழைய இந்திய இடம் குறிக்கும் பூஜ்ஜியமான, மத்தியப் பிரதேசம் குவாலியரில் ஒரு கோயில் சுவரில் உள்ள 9ஆம் நூற்றாண்டுப் பூஜ்ஜியத்தை விடப் பழையது என்றும் வெளியீடு கூறியது. ஏடுகள் குறைந்தது மூன்று வெவ்வேறு காலங்களிலிருந்து வந்தவை என்றும் அது கூறியது. முந்தைய முன்னணிக் கல்வி மதிப்பீடாக ஹயாஷியின் 8 முதல் 12ஆம் நூற்றாண்டு வரம்பை வெளியீடு குறிப்பிட்டது.

அறிஞர்களின் பதில்

2017இல் இந்தியக் கணித வரலாற்றாசிரியர்கள் ஐவர் (கிம் ப்ளாஃபர், அகாதே கெல்லர், தகாவோ ஹயாஷி, கிளெமன்சி மான்டெல், டோமினிக் வுஜாஸ்டிக்) சக மதிப்பாய்வு பெறும் History of Science in South Asia இதழில் ஒரு பதிலை வெளியிட்டனர். கதிரியக்கக் கார்பன் எண்களைத் தொழில்நுட்ப அடிப்படையில் தங்களால் சவால் செய்ய முடியாது என்றும், கையெழுத்துப் பிரதியிலிருந்தே வாதிடுவதாகவும் அவர்கள் கூறினர். கையெழுத்தும் அமைப்பும் எல்லா ஏடுகளிலும் ஒரே மாதிரி தெரிகின்றன; அது அவர்களின் பார்வையில் நூற்றாண்டுகள் இடைவெளியில் எழுதப்பட்ட பக்கங்களுக்குப் பொருந்தாது. 16ஆம் ஏட்டின் பின்புறமும் 17ஆம் ஏட்டின் முன்புறமும் தங்கக் கலவைகளைக் கலப்பது பற்றிய தொடர்ச்சியான ஒரு கணக்கைக் கொண்டுள்ளன; வேறொரு எழுத்தரின் அடையாளம் எதையும் ஹயாஷி காணவில்லை. படைப்பு ஒரே துண்டாக எழுதப்பட்டிருந்தால், பூஜ்ஜியங்களின் காலம் மிக இளைய ஏட்டின் காலமே என்று அவர்கள் எழுதினர்.

அவர்களின் முடிவுகள் சோதனையையும் பாராட்டுகின்றன. கதிரியக்கக் கார்பன் பகுப்பாய்வு பெரும் மதிப்புடையதாக இருக்கக்கூடும் என்றும், ஓர் ஏட்டுக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாதிரிகள் வேண்டும் என்றும், இயன்றால் மை எழுத்துகளிலேயே சோதனை செய்யவேண்டும் என்றும் கேட்டுக்கொண்டனர். சக மதிப்பாய்வுக்கு முன்பே முடிவுகள் பத்திரிகைகளுக்கும் ஒரு காணொளிக்கும் சென்றதற்கு அவர்கள் வருத்தம் தெரிவித்தனர்.

மின்னஞ்சல் பட்டியலில் மறுநாள், இந்தியப் பூஜ்ஜியத்தின் தொடக்கப் பயன்பாடு இந்தியவியலாளர்களிடையே நீண்டகாலமாக நிலைபெற்ற அறிவு என்றும், அவர்களில் எவரையும் ஏன் கலந்தாலோசிக்கவில்லை என்றும் வால்ட்டர் ஸ்லாஜே எழுதினார். கையெழுத்துப் பிரதி ஒரே உரையாக இருந்தால் அதை நகலெடுத்த காலம் 9 அல்லது 10ஆம் நூற்றாண்டில் விழும் என்றும், தான் நூலகம் எதுவும் அணுக முடியாமல் பத்திரிகை அறிக்கையை வைத்தே பணியாற்றுவதாகவும் அந்திரேயா அக்ரி குறிப்பிட்டார்.

ஆக்ஸ்போர்டின் 2024 அறிக்கை

2024 அக்டோபர் 14 அன்று ஆக்ஸ்போர்டு கதிரியக்கக் கார்பன் முடுக்கி அலகும் போட்லியனும் டேவிட் சிவால், விர்ஜீனியா லிடோ-புய்சான், டேவிட் ஹோவெல், கில்லியன் எவிசன் ஆகியோரின் விரிவான அறிக்கையைப் பதிவேற்றின. 16, 17ஆம் ஏடுகளில் 2017இல் செய்த அளவீடுகள் எதிர்பாராத வயதுகளைத் தந்தன; எனவே 2018இல் 23, 55ஆம் ஏடுகளிலும், 15ஆம் ஏட்டிலும், 16ஆம் ஏட்டின் இரண்டாவது மாதிரியிலும் புதிய சோதனைகளைக் குழு செய்தது என்று அது கூறுகிறது. 16ஆம் ஏட்டின் இரண்டாவது முடிவு, முதலாவது துல்லியமற்றது என்பதைக் காட்டியது என்று அறிக்கை கூறுகிறது. 17ஆம் ஏட்டின் அளவீடு மற்றவற்றோடு ஒப்பிடுகையில் விலகிய ஒன்றாக இருந்ததால் விடப்பட்டது. 33ஆம் ஏட்டின் முடிவு புதியவற்றுடன் ஒத்திருந்ததால் நீடித்தது.

95.4 சதவீதத்தில் அளவுத்திருத்தம் செய்யப்பட்ட ஐந்து வரம்புகள்: 15ஆம் ஏட்டுக்குப் பொ.ஊ. 773 முதல் 986 வரை, 16க்கு 901 முதல் 1032 வரை, 23க்கு 890 முதல் 1014 வரை, 33க்கு 885 முதல் 995 வரை, 55க்கு 774 முதல் 991 வரை. ஐந்து ஏடுகளையும் ஒரே வயதுடையவை என்று கருத முடியாது என்று அறிக்கையின் புள்ளியியல் சோதனைகள் கண்டன; ஆனால் 16ஆம் ஏடு தவிர்த்த நான்கையும் அவ்வாறு கருதலாம், அவை பொ.ஊ. 889 முதல் 979 வரை தருகின்றன. ஏடுகளுக்கு இடையிலான தொடர்பு பற்றி எந்த அனுமானமும் செய்யாத ஒரு மாதிரி, கையெழுத்துப் பிரதியின் உருவாக்கத் தொடக்கத்தைப் பொ.ஊ. 799 முதல் 892 வரையிலும், முடிவை 900 முதல் 1102 வரையிலும் வைக்கிறது. வூர்ஸ்பர்க் இந்தோஸ்கிரிப்ட் தரவுத்தளம் புதிய முடிவுக்கு இணங்க, கதிரியக்கக் கார்பன் காலக்கணிப்பின் அடிப்படையில் 16ஆம் ஏட்டைப் பொ.ஊ. 901 முதல் 1032 வரை பட்டியலிடுகிறது.

இந்த எண்கள் எதைக் காலக்கணிப்புச் செய்கின்றன என்பதில் அறிக்கை கவனமாக இருக்கிறது. கதிரியக்கக் கார்பன், மரப்பட்டை உருவான காலத்தை அளக்கிறது; கையெழுத்துப் பிரதி அதற்கு முன் எழுதப்பட்டிருக்க முடியாது; எனவே அந்தக் காலங்கள் அது உருவாக்கப்பட்டதற்கான மிகப் பழைய சாத்தியமான நேரத்தை நிர்ணயிக்கின்றன.

நிலைத்து நிற்பவை

கையெழுத்துப் பிரதிக்கு முன்மொழியப்பட்ட காலங்கள் சுமார் பொ.ஊ. 200 முதல் 1100 வரை இருந்தன என்றும், அது தெற்காசியக் கணிதப் படைப்பின் எஞ்சிய சான்றுகளில் கிட்டத்தட்ட நிச்சயமாக மிகப் பழமையானது என்றும் அதே அறிக்கை கூறுகிறது. எஞ்சியுள்ள கணிதக் கையெழுத்துப் பிரதிகளில் இது மிகவும் பழமையானது என்றும், ஈரப்பதமான காலநிலையில் பூர்ஜ மரப்பட்டை நீண்டகாலம் நிலைக்காது என்றும் காசல்மேன் கூறுகிறார்.

ஆக்ஸ்போர்டின் 2017 வெளியீடு மிகப் பழைய இந்திய இடம் குறிக்கும் பூஜ்ஜியம் என்று குறிப்பிட்ட குவாலியர் கல்வெட்டு 9ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தது; புதிய மரப்பட்டை வரம்புகள் அந்த நூற்றாண்டுடன் ஒன்றுகூடுகின்றன. உரைக்கு ஹயாஷி தந்த 7ஆம் நூற்றாண்டுக் காலம், கையெழுத்து, மொழி, சமஸ்கிருதக் கணித நூல்களின் வரலாறு ஆகியவற்றிலிருந்து வருகிறது; பூஜ்ஜியங்களை எண்களாக வாசிக்கும் 2017 பதிலின் வாசிப்பு உரையின் சொந்த நடைமுறைகளின் மீது அமைந்துள்ளது. இரண்டும் மரப்பட்டையின் அளவீடுகள் அல்ல.

70 ஏடுகளில் ஆறு மாதிரி எடுக்கப்பட்டுள்ளன (15, 16, 17, 23, 33, 55ஆம் ஏடுகள்). ஒவ்வொரு சோதனையும் மரப்பட்டையின் ஒரு சிறு மாதிரியைத் தீர்த்துவிடுவதால், மேலும் காலக்கணிப்பு நடக்கும் என்று ஆக்ஸ்போர்டு அறிக்கை எதிர்பார்க்கவில்லை.