巴克沙利手稿的70张桦树皮叶片上有数百个圆点零，牛津的最新测年把其中五张叶片的树皮定在公元773年至1032年之间

巴克沙利手稿由70张桦树皮叶片组成，上面写满梵文规则和演算过的算术题，其中有数百处用圆点表示零。牛津放射性碳实验室和收藏它的博德利图书馆在2024年的报告中称它“几乎可以肯定是现存最古老的南亚数学著作的见证”。该报告把其中五张叶片的树皮定在公元773年至1032年之间。

这个年代此前已经变过一次。2017年9月，同样的机构宣布其中一张叶片早到3世纪或4世纪，《卫报》和其他媒体都作了报道。2024年的报告解释了这个数字为什么不再成立。文本和上面的零没有变，变的只是树皮的实测年龄。

一名劳工、一处废墟和白沙瓦附近的村庄

这些叶片于1881年5月发现于巴克沙利村，该村在白沙瓦东北约80公里，属于今天的巴基斯坦。牛津的报告说，一名农业劳工从一块田地或一处废墟中取出了它们，关于发现经过的记述并不准确。

德国学者A. F. R. 霍恩勒（A. F. R. Hoernle）当时任印度政府古文字学家，他1882年的一份报告说，手稿是一个人为挖石头而在一处残破的围场里发现的。霍恩勒补充说，发现者把它取出来时，大部分已被毁坏。他研究了残存的碎片，并于1902年把它们赠给牛津的博德利图书馆，馆藏编号为MS. Sansk. d. 14。

学者们对这部文本的了解，大部分至今仍来自照片。G. R. 凯伊（G. R. Kaye）1927年出版校订本时发表了这些照片。据不列颠哥伦比亚大学的数学家比尔·卡塞尔曼（Bill Casselman）说，此后这些残片被封进云母片之间。树皮粘在云母上，碎成了数百小块，颜色也变暗了。卡塞尔曼指出，隔着云母似乎仍然能把页面拍得很清楚。

叶片教的是什么

这部文本是规则和例题的汇编，以诗体写成，附有散文注释。牛津的报告把它描述为“诗体的算法和例题”，所用梵文受到西北地区方言的影响。文字是夏拉达体的一种变体，维尔茨堡大学的Indoskript数据库把它列出的那张对开页标为晚期原始夏拉达体。按卡塞尔曼描述的模式，每条规则之后是例子，再之后是对答案的验算。

题目都是日常问题。第16和17对开页上的一道混合题，讲的是不同成色的金合金。MacTutor报告说，另一些题涉及三率法（其例题算出50乘12除以8等于75第纳尔）、两个男孩的日工资和债务使他们30天后持平，以及一道关于马价的不定问题。牛津数学家马库斯·杜索托伊（Marcus du Sautoy）2017年这样概括它的风味：这是“如果有人买了这个又卖了这个，他还剩下多少？”一类的问题。

平方根是最出彩的部分。MacTutor列出了手稿对非完全平方数的求法，给出41的平方根为6.403138528，而真值是6.403124237，精确到小数点后四位。对339,009，它算对了十一位小数。卡塞尔曼说，就他所知，其他文化要到很久以后才出现类似的超大数，并指出十进制小数是阿拉伯数学家在这类工作之后才发明的。

书尾的跋是抄写者的附记，其中提到一位婆罗门，称他是恰贾卡（Chajaka）之子，他为一位名叫哈西卡（Hasika）、瓦西哈（Vasiha）之子的人及其后裔抄写了这部著作，地点在南亚西北部的犍陀罗地区。林隆夫1995年校订并翻译了这部文本，下文讨论的2017年答复（他是合著者之一）称这个校订本是权威研究。他暂时把注释部分定在7世纪，把现存手稿定在8世纪至12世纪之间的某个时期。

一个身兼两职的圆点

手稿里的零是一个圆点。它标记数字中的空位，就像101里的0，2017年牛津的公告说它后来中间生出了空心，成了现代的符号。2017年答复的作者们补充说，手稿还把这个圆点用来表示未知量，用法类似代数里的变量。

这些规则也显示出零是可以拿来运算的。在第22对开页的一道题中，代表未知量的圆点被换成1，文本说这一步是“把一加到零上”。在第47对开页，例题把分数108625/65600和59425/49200相乘，得到6455040625/3227520000，这五位作者说，若不对数中的零作运算，很难想象这个计算怎样完成。牛津2017年的新闻稿把巴克沙利圆点描述为占位符，并指出婆罗摩笈多公元628年的《婆罗摩历算书》（Brahmasphutasiddhanta）是第一份把零当作数来讨论的文献。婆罗摩笈多制定的规则另有专文介绍。

这个符号的更广阔的历史见印度给世界带来了零。巴克沙利叶片是其中的一项证据，2017年的答复还列出了其他证据：梵文词shunya（空）在诗律计算中起过某种记号作用，一部约公元550年的文本把一个常数定义为“六十减零”，还有几部早期文本描述了用算筹进行的位值计数。

2017年9月：三张叶片，三个世纪

博德利图书馆从第16、17和33对开页上、远离墨迹的地方取了三个小块树皮样品。牛津放射性碳加速器单元在大卫·奇瓦尔博士（Dr David Chivall）参与下对它们作了测量。博德利图书馆的约翰·克莱梵文馆员卡米洛·福尔米加蒂（Camillo Formigatti）2017年9月14日把结果发到一个学者邮件列表上，置信度均为95.4%：第16对开页为公元224年至383年，第17对开页为公元680年至779年（另有一个较小的第二区间，公元790年至868年），第33对开页为公元885年至993年。他写道，团队没有料到三者差别这么大。

牛津大学当天发布了这条消息，《卫报》以独家形式刊登。新闻稿说，这部手稿早到3世纪或4世纪，比学者们原先认为的早了约五个世纪，也比中央邦瓜廖尔一座寺庙墙上的9世纪的零更古老，后者在此之前是已知最早的印度占位零。新闻稿还说，这些叶片至少来自三个不同的时期。新闻稿提到林隆夫的8世纪至12世纪区间，称之为此前主要的学术估计。

学者们的答复

2017年，五位印度数学史学者（金·普洛夫克、阿加特·凯勒、林隆夫、克莱门西·蒙泰尔和多米尼克·武雅斯塔克）在同行评审期刊《南亚科学史》上发表了答复。他们说无法在技术上质疑放射性碳数据，转而从手稿本身立论。各叶片上的笔迹和版式看起来一致，在他们看来，这与相隔数世纪写成的页面不符。第16对开页的背面和第17对开页的正面载有同一道讲金合金混合的连续题目，林隆夫没有看到换了抄写者的迹象。他们写道，如果这部著作是一次抄成的，那么零的年代就是最晚那张叶片的年代。

他们的结论也肯定了这项检测。他们称放射性碳分析可能具有很大价值，并要求每张叶片取不止一个样品，如有可能还要检测带墨迹的字迹本身。他们对结果在同行评审之前就交给了媒体并制作了视频表示遗憾。

第二天，在邮件列表上，瓦尔特·斯拉耶（Walter Slaje）写道，印度早期使用零是印度学者早已确立的常识，并问为什么没有人征询他们。安德烈亚·阿克里（Andrea Acri）指出，如果这部手稿是单一的文本，它的抄写年代应落在9世纪或10世纪，并说他是根据新闻报道在没有图书馆资料的条件下作出判断的。

牛津2024年的报告

2024年10月14日，牛津放射性碳加速器单元和博德利图书馆提交了一份更完整的报告，作者是大卫·奇瓦尔、维吉尼亚·利亚多-比桑（Virginia Lladó-Buisán）、大卫·豪厄尔（David Howell）和吉利安·埃文森（Gillian Evison）。报告说，2017年对第16和17对开页的测量得出了出人意料的年龄，所以团队在2018年又做了新的检测，对象是第23和55对开页、第15对开页，以及第16对开页的第二个样品。报告写道，第16对开页的第二次结果表明第一次不准确。第17对开页的测量值与其余数据相比是离群值，被排除在外。第33对开页的结果与新结果一致，予以保留。

五个校正后的区间（置信度95.4%）是：第15对开页公元773年至986年，第16对开页公元901年至1032年，第23对开页公元890年至1014年，第33对开页公元885年至995年，第55对开页公元774年至991年。维尔茨堡的Indoskript数据库依据放射性碳测年，把第16对开页列为公元901年至1032年，与新结果一致。报告的统计检验发现，不能假定这五张叶片的年龄都相同，但除第16对开页以外的其余四张可以，它们给出的是公元889年至979年。一个对叶片之间关系不作任何假设的模型，把手稿制作的开始定在公元799年至892年，结束定在公元900年至1102年。

报告对这些数字测的是什么写得很谨慎。放射性碳测的是树皮形成的时间，手稿不可能早于那时写成，所以这些年代只是它制作时间的最早可能值。

什么是站得住的

同一份报告说，对这部手稿提出过的年代从大约公元200年到1100年不等，它几乎可以肯定是现存最古老的南亚数学著作的见证。卡塞尔曼称它是迄今最古老的现存数学手稿，并说桦树皮在潮湿气候中保存不了多久。

牛津2017年新闻稿称为最古老的印度占位零的瓜廖尔铭文，年代为9世纪，而新测得的树皮年代区间与这个世纪重叠。林隆夫把注释定在7世纪，依据的是笔迹、语言和梵文算术文献的历史；2017年答复把零读作数，依据的是文本自身的运算程序。两者都不是对树皮的测量。

70张叶片中有六张取过样（第15、16、17、23、33和55对开页）。牛津的报告预计不会再有进一步测年，因为每次检测都要消耗一小块树皮样品。