బఖ్షాలీ గ్రంథంలోని 70 భూర్జపత్రాల్లో వందలాది చుక్క సున్నాలు ఉన్నాయి, ఆక్స్‌ఫర్డ్ తాజా కాలనిర్ణయం ఐదు పత్రాల భూర్జ బెరడును క్రీ.శ. 773 నుంచి 1032 మధ్యకు చేర్చింది

బఖ్షాలీ గ్రంథం సంస్కృత నియమాలు, పని చేసి చూపిన అంకగణిత సమస్యలతో నిండిన 70 భూర్జపత్రాలు, వాటిలో సున్నాకు చుక్క వందల సార్లు రాశారు. దాన్ని భద్రపరిచిన ఆక్స్‌ఫర్డ్ రేడియోకార్బన్ ప్రయోగశాల, బోడ్లియన్ గ్రంథాలయాలు తమ 2024 నివేదికలో దీన్ని “దక్షిణాసియా గణిత గ్రంథానికి ఇప్పటికీ మిగిలిన అతి పురాతన సాక్ష్యం, బహుశా ఇదే” అంటాయి. ఆ నివేదిక దాని ఐదు పత్రాల బెరడును క్రీ.శ. 773 నుంచి 1032 మధ్యదిగా నిర్ణయిస్తుంది.

ఆ తేదీ ఇప్పటికే ఒకసారి మారింది. 2017 సెప్టెంబర్‌లో అవే సంస్థలు ఒక పత్రం 3వ లేదా 4వ శతాబ్దం నాటిదని ప్రకటించాయి, ది గార్డియన్, ఇతర పత్రికలు దాన్ని ప్రచురించాయి. ఆ అంకె ఇప్పుడు ఎందుకు నిలవదో 2024 నివేదిక వివరిస్తుంది. పాఠం, దానిలోని సున్నాలు మారలేదు; బెరడు కొలిచిన వయసు మాత్రమే మారింది.

ఒక కూలీ, ఒక శిథిలం, పెషావర్ సమీపంలో ఒక గ్రామం

ఇప్పటి పాకిస్తాన్‌లో పెషావర్‌కు ఈశాన్యంగా సుమారు 80 కిలోమీటర్ల దూరంలో ఉన్న బఖ్షాలీ గ్రామంలో 1881 మేలో ఈ పత్రాలు దొరికాయి. ఒక వ్యవసాయ కూలీ వాటిని పొలం నుంచో శిథిలం నుంచో తీశాడని, దొరికిన తీరుపై వివరాలు కచ్చితంగా లేవని ఆక్స్‌ఫర్డ్ నివేదిక చెబుతుంది.

అప్పటి భారత ప్రభుత్వ లిపిశాస్త్రజ్ఞుడైన జర్మన్ పండితుడు ఎ. ఎఫ్. ఆర్. హోర్న్లే 1882లో రాసిన నివేదిక, రాళ్ల కోసం తవ్వుతున్న ఒక వ్యక్తి శిథిలమైన ఆవరణలో ఆ గ్రంథాన్ని కనుగొన్నాడని చెబుతుంది. దొరికినవాడు దాన్ని పైకి తీసినప్పుడు చాలా భాగం నాశనమైందని హోర్న్లే జోడిస్తారు. మిగిలిన ముక్కలను అధ్యయనం చేసి 1902లో ఆక్స్‌ఫర్డ్‌లోని బోడ్లియన్ గ్రంథాలయానికి ఇచ్చారు; అక్కడ అవి MS. Sansk. d. 14 షెల్ఫ్‌మార్క్‌తో ఉన్నాయి.

పండితులకు ఈ పాఠం గురించి తెలిసినదానిలో చాలా భాగం ఇప్పటికీ ఛాయాచిత్రాల నుంచే. 1927లో జి. ఆర్. కేయ్ తన సంపాదకత్వంతో వాటిని ప్రచురించారు. ఆ తర్వాత, బ్రిటిష్ కొలంబియా విశ్వవిద్యాలయ గణితవేత్త బిల్ కాసెల్‌మన్ చెప్పిన ప్రకారం, ఆ ముక్కలను మైకా షీట్ల మధ్య పొదిగారు. బెరడు మైకాకు అతుక్కుని వందల చిన్న ముక్కలుగా విరిగింది, నల్లబడింది. మైకా గుండా పేజీలను బాగా ఫోటో తీయడం ఇప్పటికీ సాధ్యమేనని కాసెల్‌మన్ గమనిస్తారు.

పత్రాలు ఏం నేర్పుతాయి

ఈ పాఠం నియమాలు, నమూనా సమస్యల సంకలనం, పద్యంలో వచన వ్యాఖ్యానంతో రాసినది. వాయవ్యంలోని ప్రాంతీయ భాషల ప్రభావం ఉన్న సంస్కృతంలో “పద్యంలో అల్గారిథమ్‌లు, నమూనా సమస్యలు” అని ఆక్స్‌ఫర్డ్ నివేదిక వర్ణిస్తుంది. లిపి శారదా లిపి రూపాంతరం; వర్జ్‌బర్గ్ ఇండోస్క్రిప్ట్ డేటాబేస్ తాను జాబితా చేసిన పత్రాన్ని లేట్ ప్రోటో-శారదాగా పేర్కొంటుంది. కాసెల్‌మన్ వర్ణించే నమూనాలో ప్రతి నియమం తర్వాత ఉదాహరణలు, ఆ తర్వాత జవాబు పరిశీలన ఉంటాయి.

సమస్యలు రోజువారీవి. 16, 17 పత్రాల్లో ఉన్న మిశ్రమ సమస్య వేర్వేరు స్వచ్ఛత గల బంగారు మిశ్రమ లోహాలకు సంబంధించినది. ఇతరాలు, MacTutor నివేదించినట్లు, త్రైరాశిక నియమాన్ని (దాని ఉదాహరణలో 50 సార్లు 12ను 8తో భాగిస్తే 75 దీనారాలు వస్తాయి), రోజువారీ కూలీ, అప్పులు 30 రోజుల తర్వాత సమానం చేసే ఇద్దరు బాలురను, గుర్రాల ధరపై అనిర్ధిష్ట సమస్యను తీసుకుంటాయి. ఆక్స్‌ఫర్డ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మార్కస్ డు సౌటాయ్ 2017లో దాని స్వభావాన్ని “ఎవరైనా ఇది కొని ఇది అమ్మితే వారికి ఎంత మిగులుతుంది?” వంటి ప్రశ్నలుగా సంగ్రహించారు.

వర్గమూలాలు ఇందులో ప్రదర్శన భాగం. సంపూర్ణ వర్గాలు కాని సంఖ్యలకు గ్రంథం పద్ధతిని MacTutor వివరిస్తుంది, 41 వర్గమూలానికి దాని విలువను 6.403138528గా ఇస్తుంది, నిజమైన విలువ 6.403124237, అంటే నాలుగు దశాంశ స్థానాల వరకు సరైనది. 339,009కి అది పదకొండు దశాంశ స్థానాలు సరిగ్గా తెస్తుంది. దాని చాలా పెద్ద సంఖ్యల వంటివి చాలా కాలం తర్వాతే ఇతర సంస్కృతుల్లో కనిపిస్తాయని తనకు తెలుసని కాసెల్‌మన్ అంటారు, ఇలాంటి పని తర్వాతే అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దశాంశ భిన్నాలను కనుగొన్నారని గమనిస్తారు.

అంత్యలేఖ, అంటే చివర లేఖకుడి గమనిక, చజక కుమారుడిగా వర్ణించిన ఒక బ్రాహ్మణుడు వసిహ కుమారుడైన హసిక కోసం, అతని వారసుల కోసం ఈ రచన చేశాడని, దక్షిణాసియా వాయవ్యంలోని గాంధార ప్రాంతంలోని ఒక చోట అని చెబుతుంది. తకావో హయాషి 1995లో పాఠాన్ని సంపాదకత్వం చేసి అనువదించారు; కింద చర్చించే 2017 సమాధానం, అందులో ఆయన సహరచయిత, ఆ సంచికను నిశ్చితమైన అధ్యయనం అంటుంది. ఆయన వ్యాఖ్యానాన్ని తాత్కాలికంగా 7వ శతాబ్దానికి, మిగిలి ఉన్న పత్రప్రతిని 8 నుంచి 12వ శతాబ్దాల మధ్య ఏదో ఒక కాలానికి చెందినదిగా నిర్ణయించారు.

రెండు పనులు చేసే చుక్క

గ్రంథంలో సున్నా ఒక చుక్క. 101లో 0 చేసినట్లే, అది సంఖ్యలో ఖాళీ స్థానాన్ని సూచిస్తుంది, తర్వాత దానికి మధ్యలో ఖాళీ వచ్చి ఆధునిక చిహ్నమైందని 2017 ఆక్స్‌ఫర్డ్ ప్రకటన చెప్పింది. గ్రంథం చుక్కను తెలియని రాశికి కూడా వాడుతుందని, బీజగణితంలో చరరాశిని పోలిన తీరులో అని 2017 సమాధాన రచయితలు జోడిస్తారు.

సున్నాతో లెక్కలు చేయడాన్ని కూడా నియమాలు చూపిస్తాయి. 22వ పత్రంలోని ఒక సమస్యలో తెలియని రాశిని సూచించే చుక్క స్థానంలో 1 ఉంచుతారు, ఆ దశ “సున్నాకు ఒకటి కలిపి” చేసినదని పాఠం చెబుతుంది. 47వ పత్రంలో నమూనా సమస్య 108625/65600, 59425/49200 భిన్నాలను గుణించి 6455040625/3227520000 ఇస్తుంది; సంఖ్యల లోపల ఉన్న సున్నాలపై అంకగణితం లేకుండా ఆ లెక్కను ఊహించడం కష్టమని ఐదుగురు రచయితలు అంటారు. బఖ్షాలీ చుక్కను స్థానపూరకంగా ఆక్స్‌ఫర్డ్ 2017 ప్రకటన వర్ణించింది, సున్నాను సంఖ్యగా చర్చించిన మొదటి పత్రంగా క్రీ.శ. 628 నాటి బ్రహ్మగుప్తుని బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతాన్ని పేర్కొంది. బ్రహ్మగుప్తుడు నిర్దేశించిన నియమాలు తమ సొంత వ్యాసంలో ఉన్నాయి.

చిహ్నం విస్తృత చరిత్ర భారతదేశం ప్రపంచానికి సున్నాను ఇచ్చిందిలో ఉంది. బఖ్షాలీ పత్రాలు అందులో ఒక సాక్ష్యం మాత్రమే, 2017 సమాధానం ఇతరాలను జాబితా చేస్తుంది: శూన్య (ఖాళీ) అనే సంస్కృత పదం ఛందస్సు లెక్కల్లో ఏదో సంకేత ప్రయోజనానికి ఉపయోగపడింది, సుమారు క్రీ.శ. 550 నాటి ఒక పాఠం స్థిరాంకాన్ని “అరవై మైనస్ సున్నా”గా నిర్వచిస్తుంది, అనేక ప్రాచీన పాఠాలు కర్రలపై స్థాన విలువల లెక్కింపును వర్ణిస్తాయి.

2017 సెప్టెంబర్: మూడు పత్రాలు, మూడు శతాబ్దాలు

బోడ్లియన్ 16, 17, 33 పత్రాల నుంచి సిరా లేని చోట్ల మూడు చిన్న బెరడు నమూనాలను తీయించింది. డాక్టర్ డేవిడ్ చివాల్‌తో పనిచేస్తున్న ఆక్స్‌ఫర్డ్ రేడియోకార్బన్ యాక్సిలరేటర్ యూనిట్ వాటిని కొలిచింది. బోడ్లియన్ జాన్ క్లే సంస్కృత గ్రంథపాలకుడు కామిలో ఫార్మిగట్టి 2017 సెప్టెంబర్ 14న పండితుల మెయిలింగ్ లిస్టులో పరిధులను, ప్రతిదీ 95.4 శాతం విశ్వాసంతో, పోస్ట్ చేశారు: 16వ పత్రానికి క్రీ.శ. 224 నుంచి 383, 17వ పత్రానికి క్రీ.శ. 680 నుంచి 779 (రెండో చిన్న పరిధి 790 నుంచి 868తో), 33వ పత్రానికి క్రీ.శ. 885 నుంచి 993. ఆ మూడింటి మధ్య అంత పెద్ద తేడా బృందం ఊహించలేదని ఆయన రాశారు.

ఆ రోజే ఆక్స్‌ఫర్డ్ విశ్వవిద్యాలయం వార్తను విడుదల చేసింది, ది గార్డియన్ దాన్ని ప్రత్యేక కథనంగా ప్రచురించింది. గ్రంథం 3వ లేదా 4వ శతాబ్దం నాటిదని, పండితులు నమ్మినదానికంటే సుమారు ఐదు శతాబ్దాలు ముందుదని, అప్పటి వరకు నమోదైన అత్యంత పురాతన భారతీయ స్థానపూరక సున్నా అయిన మధ్యప్రదేశ్‌లోని గ్వాలియర్ ఆలయ గోడపై ఉన్న 9వ శతాబ్దపు సున్నా కంటే పాతదని ఆ విడుదల చెప్పింది. పత్రాలు కనీసం మూడు వేర్వేరు కాలాల నుంచి వచ్చాయని అది అంది. అంతకు ముందటి ప్రముఖ విద్యా అంచనాగా హయాషి 8 నుంచి 12వ శతాబ్దాల పరిధిని విడుదల పేర్కొంది.

పండితుల సమాధానం

2017లో భారతీయ గణిత చరిత్రకారులు ఐదుగురు (కిమ్ ప్లోఫ్కర్, అగాథ్ కెల్లర్, తకావో హయాషి, క్లెమెన్సీ మాంటెల్, డొమినిక్ వుజాస్టిక్) పీర్-రివ్యూ జర్నల్ హిస్టరీ ఆఫ్ సైన్స్ ఇన్ సౌత్ ఏషియాలో సమాధానం ప్రచురించారు. రేడియోకార్బన్ అంకెలను సాంకేతిక ఆధారంగా సవాలు చేయలేమని, గ్రంథంలోని ఆధారాలతోనే వాదిస్తున్నామని వారు అన్నారు. చేతిరాత, అమరిక పత్రాలన్నింటా ఏకరీతిగా కనిపిస్తాయి, అది శతాబ్దాల తేడాతో రాసిన పేజీలకు సరిపోదని వారి అభిప్రాయం. 16వ పత్రం వెనుక వైపు, 17వ పత్రం ముందు వైపు బంగారు మిశ్రమ లోహాలను కలపడంపై ఒకే నిరంతర సమస్య ఉంది, వేరే లేఖకుడి ఆనవాళ్లు హయాషికి కనిపించలేదు. రచనను ఒకే భాగంగా రాసి ఉంటే సున్నాల తేదీ అతి ఇటీవలి పత్రం తేదీ అవుతుందని వారు రాశారు.

వారి ముగింపులు పరీక్షకు కూడా గౌరవం ఇస్తాయి. రేడియోకార్బన్ విశ్లేషణ గొప్ప విలువ కలిగి ఉండవచ్చని వారు అన్నారు, ప్రతి పత్రానికి ఒకటికి మించి నమూనాలు, వీలైతే సిరా అక్షరాలపైనే పరీక్షలు కోరారు. పీర్ రివ్యూకు ముందే ఫలితాలు పత్రికలకు, వీడియోకు వెళ్లడం పట్ల విచారం వ్యక్తం చేశారు.

మరుసటి రోజు మెయిలింగ్ లిస్టులో, భారతీయ సున్నా తొలి వాడకం ఇండాలజిస్టులకు చాలా కాలంగా తెలిసిన విషయమని, వారిలో ఎవరినీ ఎందుకు సంప్రదించలేదని వాల్టర్ స్లాజే రాశారు. గ్రంథం ఒకే పాఠమైతే దాని ప్రతి కాలం 9వ లేదా 10వ శతాబ్దంలో ఉంటుందని, తాను గ్రంథాలయం అందుబాటు లేకుండా పత్రికా నివేదిక నుంచే పనిచేస్తున్నానని ఆండ్రియా అక్రి గమనించారు.

ఆక్స్‌ఫర్డ్ 2024 నివేదిక

2024 అక్టోబర్ 14న ఆక్స్‌ఫర్డ్ రేడియోకార్బన్ యాక్సిలరేటర్ యూనిట్, బోడ్లియన్ కలిసి డేవిడ్ చివాల్, వర్జీనియా యాడో-బుయిసాన్, డేవిడ్ హోవెల్, గిలియన్ ఈవిసన్ రాసిన విస్తృత నివేదికను దాఖలు చేశాయి. 16, 17 పత్రాలపై 2017 కొలతలు ఊహించని వయసులను ఇచ్చాయని, అందుకే బృందం 2018లో 23, 55 పత్రాలపై, 15వ పత్రంపై, 16వ పత్రం నుంచి రెండో నమూనాపై కొత్త పరీక్షలు చేసిందని ఆ నివేదిక చెబుతుంది. రెండో 16వ పత్రం ఫలితం మొదటిది కచ్చితంగా లేదని చూపిందని నివేదిక పేర్కొంటుంది. 17వ పత్రం కొలత మిగిలిన వాటితో పోలిస్తే వేరుపడినది కావడంతో వదిలేశారు. 33వ పత్రం ఫలితం కొత్తవాటితో సరిపోయి నిలిచింది.

95.4 శాతం విశ్వాసంతో, ఐదు క్రమాంకనం చేసిన పరిధులు ఇవి: 15వ పత్రానికి క్రీ.శ. 773 నుంచి 986, 16వ పత్రానికి 901 నుంచి 1032, 23వ పత్రానికి 890 నుంచి 1014, 33వ పత్రానికి 885 నుంచి 995, 55వ పత్రానికి 774 నుంచి 991. వర్జ్‌బర్గ్ ఇండోస్క్రిప్ట్ డేటాబేస్ రేడియోకార్బన్ కాలనిర్ణయం ఆధారంగా 16వ పత్రాన్ని క్రీ.శ. 901 నుంచి 1032గా జాబితా చేస్తుంది, ఇది కొత్త ఫలితంతో సరిపోతుంది. ఐదు పత్రాలూ ఒకే వయసువని భావించలేమని, అయితే 16వ పత్రం తప్ప మిగిలిన నాలుగూ అలా భావించవచ్చని నివేదిక గణాంక పరీక్షలు తేల్చాయి, అవి క్రీ.శ. 889 నుంచి 979 ఇస్తాయి. పత్రాల మధ్య సంబంధం గురించి ఏ ఊహలూ చేయని నమూనా గ్రంథ రూపకల్పన ఆరంభాన్ని క్రీ.శ. 799 నుంచి 892లో, ముగింపును 900 నుంచి 1102లో ఉంచుతుంది.

ఈ అంకెలు దేన్ని కాలనిర్ణయం చేస్తాయనే విషయంలో నివేదిక జాగ్రత్తగా ఉంది. రేడియోకార్బన్ బెరడు ఏర్పడిన కాలాన్ని కొలుస్తుంది, గ్రంథం దానికి ముందు రాసి ఉండదు, కాబట్టి తేదీలు దాని తయారీకి సాధ్యమైన తొలి కాలాన్ని నిర్ణయిస్తాయి.

నిలిచేది ఏమిటి

గ్రంథానికి ప్రతిపాదించిన తేదీలు సుమారు క్రీ.శ. 200 నుంచి 1100 వరకు ఉన్నాయని, అది దక్షిణాసియా గణిత గ్రంథానికి ఇప్పటికీ మిగిలిన అతి పురాతన సాక్ష్యం బహుశా అని అదే నివేదిక చెబుతుంది. ఇది ఇప్పటికీ మిగిలిన అతి పురాతన గణిత గ్రంథ ప్రతిగా చాలా తేడాతో నిలుస్తుందని, తేమ వాతావరణంలో భూర్జపత్రం ఎక్కువ కాలం నిలవదని కాసెల్‌మన్ అంటారు.

ఆక్స్‌ఫర్డ్ 2017 విడుదల అత్యంత పురాతన భారతీయ స్థానపూరక సున్నాగా పేర్కొన్న గ్వాలియర్ శాసనం 9వ శతాబ్దానికి చెందినది, కొత్త బెరడు పరిధులు ఆ శతాబ్దంతో కలుస్తాయి. వ్యాఖ్యానం 7వ శతాబ్దానిదని హయాషి చెప్పే తేదీ చేతిరాత, భాష, సంస్కృత అంకగణిత పాఠాల చరిత్ర నుంచి వస్తుంది, సున్నాలను సంఖ్యలుగా చదివే 2017 సమాధానం పాఠం సొంత పద్ధతులపై ఆధారపడింది. రెండూ బెరడు కొలత కాదు.

70 పత్రాల్లో ఆరింటి నుంచి నమూనాలు తీశారు (15, 16, 17, 23, 33, 55 పత్రాలు). ప్రతి పరీక్ష బెరడు నమూనాలో కొంత వినియోగించడంతో, ఇంకా కాలనిర్ణయం ఉంటుందని ఆక్స్‌ఫర్డ్ నివేదిక ఆశించదు.