摩诃毗罗阿阇梨的《算术精要》约成于公元850年罗湿陀罗拘陀国王阿莫伽跋沙治下，共九章、1130多节诗，从分数讲到椭圆，收有规则与例题

摩诃毗罗阿阇梨的《算术精要》（Ganita Sara Sangraha）约写于公元850年，是一位耆那教数学家编写的教科书，共九章。《大英百科全书》中由数学史家林隆夫（Takao Hayashi）撰写的词条统计，书中有1130多节诗，写的是规则和例题，内容从数的名称、分数，到方程、数列、面积、体积，再到影长。

这部书作于德干南部，时当罗湿陀罗拘陀国王阿莫伽跋沙（Amoghavarsha）在位之时。开篇第一章列出二十四个十进位的名称，给出零和负数的运算规则，后面几章则提出关于香蕉堆、丢失的钱袋和箭囊里的箭的题目。婆罗摩笈多关于零的规则早于它两个多世纪，MacTutor说摩诃毗罗阿阇梨的这本书是婆罗摩笈多著作的更新版。

开篇诗节中点名了一位国王的教科书

《算术精要》没有写明自己的成书年代。书中先用两节诗向耆那教导师摩诃毗罗致敬，然后第一章用六节诗赞颂一位国王，祝愿他的统治昌盛。诗中称他为阿莫伽跋沙和查克里卡班贾纳（Cakrikabhanjana），最后的祝福里提到了尼普通加（Nripatunga）。此书1912年的校订者和译者兰加查里亚认定他就是罗湿陀罗拘陀国王阿莫伽跋沙·尼普通加。他写道，据铭文研究，这位国王的在位时间是814年或815年至877年或878年，因此这本书属于9世纪中叶。

铭文与这个时间段相合。弗利特（Fleet）在1882年编目卡纳达语地区阿莫伽跋沙一世的记录时，列出了坎赫里石窟（Kanheri）的两篇，一篇纪年为塞种历773年（公元851至852年，他把原作775的数字订正为773），一篇纪年为塞种历799年（公元877至878年）。《大英百科全书》关于这个王朝的词条给出同样的在位时间，约为814至878年，并说罗湿陀罗拘陀人说卡纳达语。词条还补充说，阿莫伽跋沙是《诗王道》（Kavirajamarga）一部分的作者，那是已知最早的卡纳达语诗作。《大英百科全书》还把埃洛拉的凯拉萨神庙记在这个王朝更早的国王克里希纳一世（Krishna I）名下。

关于这位数学家本人，《大英百科全书》只说他是耆那教徒，在阿莫伽跋沙在位期间写作。萨纳坦·科利（Sanatan Koley）在2025年《印度科学史杂志》的一篇论文中称他是一位digambara（空衣派）耆那教徒，与前辈不同，他不是天文学家，著作只限于数学。MacTutor说他可能生于迈索尔或其附近。为兰加查里亚的版本写序的戴维·尤金·史密斯（David Eugene Smith）认为，摩诃毗罗阿阇梨“似乎曾生活”在国王的宫廷里。这是根据开篇诗节作出的推断，兰加查里亚自己的说法是，作者“以某种方式依附于”宫廷。MacTutor没有提到任何赞助人。

二十四个位和零的规则

第一章从个位往上，列出十进制数的各个位。第六位是拉克（lakh），第八位是克罗尔（crore），清单一直排到第二十四位，叫作马哈克肖巴（mahakshobha）。兰加查里亚的序言指出，每一位的值都是前一位的十倍。同一章的第49至52节，规定了零以及正数和负数的规则。

诗中说，一个数乘以零得零，加零则数保持原样。两个负数或两个正数相乘或相除得正，一正一负则得负。减去一个正量变成负，减去一个负量变成正。正量或负量的平方都是正。诗中的推理是：负数不是平方数，因此没有平方根，《大英百科全书》也记载了这一点。

关于除法，第49节说，一个数除以零仍是原数。兰加查里亚在脚注中明确指出这是错的，后来巴斯卡拉（Bhaskara）给出的商是无穷大。MacTutor关于零的历史也这样说，并指出摩诃毗罗想改进婆罗摩笈多关于除以零的说法，结果陷入了错误。十进制和零的符号的更大背景见关于印度与零的文章，巴斯卡拉的著作见关于《丽拉瓦蒂》的文章。

分数、粉碎法和题目诗

MacTutor说，摩诃毗罗阿阇梨给出了把一个分数拆成单位分数的方法，例子是2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68。这三个分数加起来确实是2/17，因为以204为公分母，它们分别是17、4和3，合计24。在第三章，他提出一个相关的难题，要读者求出五个、六个或七个分子为1的不同分数之和为1时的分母。

第六章讲混合问题，其中有库提卡拉（kuttikara），即“粉碎法”，这是求方程整数解的一种方法，MacTutor说它以欧几里得算法为基础。一个典型的例子是第117节半，要求出63个相等的香蕉堆中每一堆的数量。再加上七个果子，总数在23名旅人中平分，一个不剩。书末的答案附录给出5，算术也成立：63乘5加7是322，等于23乘14。

这条规则的合并版本为什么成立，兰加查里亚的注释作了推导。他表明，当一个数必须同时满足两个这样的条件时，下一个解是在第一个解上加上两个除数的最小公倍数。这个推导在他的脚注里，不在摩诃毗罗阿阇梨的诗中，诗中只给出了步骤。

第236和237节提出了三位商人拾到一个钱袋的问题。第一位说，有了这个钱袋，他的钱就是另外两人之和的两倍；第二位说是三倍；第三位说是五倍。MacTutor给出了整数中的最小答案：钱袋里有15，三位商人手里分别有1、3和5。验算：15加1是16，等于3加5的两倍。15加3是18，等于1加5的三倍。15加5是20，等于1加3的五倍。

第288节给出了计算箭囊里捆着多少支箭的规则：把最外圈的箭数加3，求和后平方，再加3，然后除以12。下一节问的是最外圈有18支箭的情形，结果是37，也就是中间1支，加上6支、12支和18支的几圈。这条规则的依据是六个相等的圆可以围成一圈贴着第七个圆，兰加查里亚的注释就是这样解释的，科利把它读作一个正确的公式，并引用了那条注释。

圆、四边形和一个椭圆

第七章全是面积。对圆，第19节取周长为直径的三倍，面积为直径一半的平方的三倍。兰加查里亚的脚注说，两者都是近似值，因为它们把圆周率取作3。《大英百科全书》补充说，在要求更精确的计算中，摩诃毗罗阿阇梨用的是10的平方根，也就是耆那教传统的取值。史密斯指出，婆罗摩笈多和摩诃毗罗阿阇梨都用3和10的平方根，两人似乎都不了解阿基米德或海伦（Heron）的工作。

第50节给出的公式，是取四个量的乘积的平方根，其中每个量是半周长减去一条边。科利指出，这就是婆罗摩笈多的四边形面积公式，把其中一条边设为零，就得到三角形的面积。至于文本是否说过它只在四个顶点共圆时才成立，学者意见不一。据史密斯说，婆罗摩笈多和摩诃毗罗阿阇梨都没有注意到这一点。科利则认为这是隐含的，第57至59节的例子全都属于这一类。

科利特别提出了椭圆。他写道，除这部论著外，没有任何印度数学著作含有椭圆度量的公式。第21节说，把短径的一半加到长径上，和乘以二得周长，再乘以短径的四分之一得面积。例题中的直径是12和36，答案附录给出84和252。第63节又给出第二组“精确”的规则。按科利的判断，两组规则都不正确，因为真正的面积是圆周率乘以两个半轴的乘积。他仍称这一尝试值得称道，因为它把圆锥曲线的研究引入了印度，而这一研究在希腊早已开始很久了。

MacTutor说，书中还给出了一种海螺状平面图形的规则，由两个不等的半圆沿直径相接而成。它引用林隆夫的话说，这类公式迄今只在摩诃毗罗和那罗衍那（Narayana）的著作中发现过。《大英百科全书》说，书里也有排列和组合，并称它们是耆那教的传统主题。科利写道，第八章中球体体积的规则几乎是正确的。

一本在南方长期使用的书

兰加查里亚的序言描述了他用过的手稿。共有五份：一份是格兰塔文的，带有对前五章的梵语注释；两份是卡纳达文的棕榈叶抄本；一份来自迈索尔的政府东方图书馆；一份来自南卡纳拉（South Canara）穆德比德里（Mudbidri）的一座耆那教寺院。迈索尔的抄本带有一位名叫瓦拉巴（Vallabha）的人写的简短卡纳达语注释。兰加查里亚写道，这部著作似乎在南印度广为人知、广受推崇，11世纪帕武卢里·马拉纳（Pavuluri Mallana）还作了泰卢固语诗体译本。科利给出的译本年代相同。

MacTutor引用菲利奥扎（Filliozat）的话说，这本书虽然像其他韵文著作一样凝练，但从教学角度看“比更早的文本有显著的优势”。1912年，史密斯写道，这个版本让欧洲学者看到了一位几乎不为他们所知的作者。兰加查里亚说，很难判断巴斯卡拉是否了解此书，因为巴斯卡拉和他已知的任何注释者似乎都没有引用它或提到作者的名字，本文也不主张存在影响。

各种资料的分歧

史密斯、科利、《大英百科全书》和MacTutor的传记都把此书定在约850年。MacTutor关于零的历史是另一个页面，说是830年。生卒年份也不一致：MacTutor给出约800至870年，科利给出约800至875年，《大英百科全书》只说他活跃于约850年。

说这是第一部完全专讲数学的印度文本，依据是MacTutor对此书的这一说法，以及重复这一说法的科利。科利自己的引言却说，室利陀罗（Sridhara）约成于公元750年的《三百颂》（Trisatika）也只讲数学。这里查阅的资料没有调和这两种说法，所以本文不使用最高级。兰加查里亚于1912年2月在马德拉斯署名写下了序言。