El Ganita Sara Sangraha de Mahaviracarya, escrito hacia 850 d. C. bajo el rey rashtrakuta Amoghavarsha, reúne nueve capítulos y más de 1130 versos de reglas y problemas resueltos, desde las fracciones hasta la elipse

El Ganita Sara Sangraha de Mahaviracarya, escrito hacia 850 d. C., es el libro de texto de un matemático jainista en nueve capítulos. La Britannica, en una entrada del historiador de las matemáticas Takao Hayashi, cuenta más de 1130 versos de reglas y ejemplos resueltos. Van desde los nombres de los números y las fracciones, pasando por las ecuaciones, las series, las áreas y los volúmenes, hasta las sombras.

Se compuso en el Decán meridional, en el reinado del rey rashtrakuta Amoghavarsha. Su capítulo inicial nombra veinticuatro posiciones decimales, da reglas para la aritmética con el cero y los números negativos, y los capítulos posteriores plantean problemas sobre montones de plátanos, una bolsa caída y flechas en un carcaj. Las reglas de Brahmagupta para el cero llegaron más de dos siglos antes, y MacTutor describe el libro de Mahaviracarya como una actualización del de Brahmagupta.

Un libro de texto con un rey nombrado en sus primeros versos

El Ganita Sara Sangraha no da su propia fecha. Tras dos versos de salutación al maestro jainista Mahavira, el primer capítulo dedica seis versos a alabar a un rey y a desear prosperidad a su gobierno. Los versos lo llaman Amoghavarsha y Cakrikabhanjana, y la última bendición nombra a Nripatunga. El editor y traductor del texto en 1912, Rangacarya, lo identificó como el rey rashtrakuta Amoghavarsha Nripatunga. Escribió que la investigación epigráfica sitúa el reinado de 814 u 815 a 877 u 878, y que por tanto el libro pertenece a mediados del siglo IX.

Las inscripciones encajan con ese lapso. Fleet, al catalogar en 1882 los registros de Amoghavarsha I en los distritos de habla kannada, enumera dos en las cuevas de Kanheri, una fechada en Saka 773 (851 a 852 d. C., una cifra que da como corrección de 775) y otra fechada en Saka 799 (877 a 878 d. C.). La entrada de la Britannica sobre la dinastía da el mismo reinado, de hacia 814 a 878, y dice que los rashtrakuta hablaban kannada. Añade que Amoghavarsha fue autor de parte del Kavirajamarga, el poema kannada más antiguo conocido. La Britannica atribuye también a un rey anterior de la dinastía, Krishna I, el templo de Kailasa en Ellora.

Del propio matemático, la Britannica dice solo que era jainista y que escribió durante el reinado de Amoghavarsha. Sanatan Koley, en un artículo de 2025 en el Indian Journal of History of Science, lo llama un jainista digambara que no era astrónomo, a diferencia de sus predecesores, y cuya obra se limita a las matemáticas. MacTutor dice que posiblemente nació en Mysore o cerca. David Eugene Smith, que escribió la introducción a la edición de Rangacarya, sostuvo que Mahaviracarya «parece haber vivido» en la corte del rey. Eso es una inferencia a partir de los primeros versos, y la propia expresión de Rangacarya es que el autor estaba «de algún modo vinculado» a la corte. MacTutor no nombra ningún mecenas.

Veinticuatro posiciones y las reglas del cero

El capítulo I enumera las posiciones de un número decimal desde la de las unidades hacia arriba. La sexta es el lakh y la octava el crore, y la lista continúa hasta la vigesimocuarta posición, llamada mahakshobha. Cada posición, señala el prefacio de Rangacarya, vale diez veces la anterior. El mismo capítulo, en los versos 49 a 52, fija las reglas para el cero y para las cantidades positivas y negativas.

Un número multiplicado por cero es cero, dice el verso, y sumar cero deja un número como estaba. Dos negativos o dos positivos multiplicados o divididos dan un positivo, y uno de cada dan un negativo. Una cantidad positiva restada se vuelve negativa, y una negativa restada se vuelve positiva. El cuadrado de una cantidad positiva o negativa es positivo. El verso razona que un negativo no es un cuadrado y por eso no tiene raíz cuadrada, un punto que la Britannica también registra.

Sobre la división, el verso 49 dice que un número dividido por cero permanece sin cambio. Una nota al pie de Rangacarya dice claramente que esto es erróneo, y que Bhaskara dio después el cociente como infinito. La historia del cero de MacTutor dice lo mismo, y señala que el intento de Mahavira de mejorar las afirmaciones de Brahmagupta sobre la división por cero lo llevó a un error. La historia más amplia del sistema decimal y del signo del cero está en el artículo sobre la India y el cero, y la obra de Bhaskara en el artículo sobre el Lilavati.

Fracciones, pulverizadores y los versos de problemas

MacTutor dice que Mahaviracarya dio métodos para descomponer una fracción en fracciones unitarias, con el ejemplo 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68. Las tres fracciones suman en efecto 2/17, pues sobre un denominador común de 204 hacen 17, 4 y 3, que suman 24. En el capítulo III plantea un acertijo relacionado, pidiendo al lector que encuentre los denominadores cuando cinco, seis o siete fracciones distintas con 1 en el numerador suman 1.

El capítulo VI, sobre problemas mixtos, contiene el kuttikara o pulverizador, un método para soluciones en números enteros de ecuaciones que MacTutor describe como basado en el algoritmo de Euclides. Un ejemplo típico, el verso 117 y medio, pide el tamaño de uno de 63 montones iguales de plátanos. Se añaden siete frutas más y el total se reparte entre 23 viajeros sin que sobre ninguna. El apéndice de respuestas da 5, y la aritmética se cumple: 63 por 5 más 7 es 322, que es 23 por 14.

Por qué tiene éxito la versión combinada de la regla se explica en las notas de Rangacarya. Cuando un número debe satisfacer dos condiciones de este tipo a la vez, muestra, la siguiente solución se obtiene sumando a la primera el mínimo común múltiplo de los dos divisores. Esa derivación está en su nota al pie, no en el verso de Mahaviracarya, que da solo el procedimiento.

Los versos 236 y 237 plantean tres mercaderes que encuentran una bolsa. El primero dice que con la bolsa tendría el doble que los otros dos juntos, el segundo dice el triple, el tercero cinco veces. MacTutor da la respuesta más pequeña en números enteros: la bolsa contiene 15, y los mercaderes tienen 1, 3 y 5. Comprobación: 15 más 1 es 16, el doble de 3 más 5. Quince más 3 es 18, el triple de 1 más 5. Quince más 5 es 20, cinco veces 1 más 3.

El verso 288 da una regla para contar las flechas reunidas en un carcaj. Se suma 3 al número de flechas del anillo exterior, se eleva al cuadrado la suma, se suma 3 y se divide por 12. El verso siguiente pide el caso de 18 flechas exteriores, que da 37. Eso es 1 en el centro más anillos de 6, 12 y 18. La regla se apoya en el hecho de que seis círculos iguales caben alrededor de un séptimo, como explica la nota de Rangacarya, y Koley, que la lee como una fórmula correcta, cita esa nota.

Círculos, cuadriláteros y una elipse

Las áreas llenan el capítulo VII. Para un círculo, el verso 19 toma la circunferencia como tres veces el diámetro y el área como tres veces el cuadrado de la mitad del diámetro. Ambas son aproximadas, dice una nota al pie de Rangacarya, porque toman pi como 3. Para el trabajo más exacto, añade la Britannica, Mahaviracarya usó la raíz cuadrada de 10, el valor jainista tradicional. Smith señaló que Brahmagupta y Mahaviracarya usaron ambos 3 y la raíz cuadrada de 10, y que ninguno parece haber conocido la obra de Arquímedes ni de Herón.

El verso 50 da la fórmula que toma la raíz cuadrada del producto de cuatro cantidades, cada una de ellas la semisuma de los lados menos un lado. Koley señala que es la fórmula de Brahmagupta para el área de una figura de cuatro lados, y que si se pone un lado a cero se obtiene el área de un triángulo. Sobre si el texto dice que vale solo cuando los cuatro vértices están sobre un círculo, los estudiosos difieren. Según Smith, ni Brahmagupta ni Mahaviracarya lo observan. En la lectura de Koley está implícito, y los ejemplos de los versos 57 a 59 son todos de ese tipo.

Koley destaca la elipse. Escribe que, aparte de este tratado, ninguna obra matemática india contiene una fórmula para la medida de una elipse. El verso 21 dice que se sume la mitad del diámetro menor al mayor, se duplique la suma para obtener la circunferencia y se multiplique eso por la cuarta parte del diámetro menor para el área. El ejemplo resuelto, con diámetros 12 y 36, da 84 y 252 en el apéndice de respuestas. El verso 63 ofrece un segundo par de reglas, «exactas». Ambas reglas son incorrectas a juicio de Koley, pues el área verdadera es pi por el producto de los dos semiejes. Aun así llama apreciable el intento, porque introdujo el estudio de las secciones cónicas en la India, un estudio que había comenzado en Grecia mucho antes.

MacTutor dice que el texto da también reglas para una figura plana con forma de concha, formada por dos semicírculos desiguales unidos a lo largo de sus diámetros. Cita a Hayashi en que esas fórmulas solo se han hallado hasta ahora en las obras de Mahavira y Narayana. Las permutaciones y combinaciones están también en el libro, dice la Britannica, que las llama temas jainistas tradicionales. La regla para el volumen de una esfera en el capítulo octavo es casi correcta, escribe Koley.

Un libro que siguió en uso en el sur

El prefacio de Rangacarya describe los manuscritos que usó. Eran cinco en total: uno en escritura grantha con un comentario sánscrito a los cinco primeros capítulos, dos copias en hoja de palma en escritura kannada, una de la Government Oriental Library de Mysore y una de un monasterio jainista de Mudbidri, en South Canara. La copia de Mysore llevaba un breve comentario kannada de un tal Vallabha. La obra parece haber sido muy conocida y apreciada en el sur de la India, escribe Rangacarya, y una traducción en verso al telugu de Pavuluri Mallana se hizo en el siglo XI. Koley da la misma fecha para la traducción.

MacTutor cita a Filliozat diciendo que el libro, aunque tan condensado como otros textos versificados, «tiene una ventaja significativa sobre textos anteriores» desde el punto de vista de la enseñanza. En 1912 Smith escribió que la edición revelaba a un escritor casi desconocido para los estudiosos europeos. Rangacarya dice que no es fácil saber si Bhaskara conocía el libro, ya que ni Bhaskara ni ningún comentarista conocido suyo parece citarlo ni nombrar a su autor, y este artículo no afirma ninguna influencia.

Dónde difieren las fuentes

Smith, Koley, la Britannica y la biografía de MacTutor fechan todos el libro hacia 850. La historia del cero de MacTutor, una página aparte, dice 830. Las fechas de la vida también varían: MacTutor da hacia 800 a 870, Koley hacia 800 a 875, y la Britannica dice solo que estuvo activo hacia 850.

La afirmación de que este es el texto indio más antiguo dedicado por entero a las matemáticas se apoya en MacTutor, que lo dice del libro, y en Koley, que lo repite. La propia introducción de Koley dice que el Trisatika de Sridhara, de hacia 750 d. C., trata solo de matemáticas. Las fuentes abiertas aquí no concilian las dos afirmaciones, así que este artículo no usa el superlativo. Rangacarya firmó su prefacio en Madrás en febrero de 1912.