राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्ष के राज में लगभग 850 ई. में लिखा महावीराचार्य का गणितसारसंग्रह नौ अध्यायों और 1,130 से अधिक श्लोकों में भिन्नों से लेकर दीर्घवृत्त तक के नियम और हल किए प्रश्न समेटे है

महावीराचार्य का गणितसारसंग्रह, जो लगभग 850 ई. में लिखा गया, एक जैन गणितज्ञ की नौ अध्यायों की पाठ्यपुस्तक है। गणित के इतिहासकार ताकाओ हायाशी की लिखी प्रविष्टि में ब्रिटानिका नियमों और हल किए उदाहरणों के 1,130 से अधिक श्लोक गिनता है। वे संख्याओं के नामों और भिन्नों से शुरू होकर समीकरणों, श्रेणियों, क्षेत्रफलों और आयतनों से होते हुए छायाओं तक जाते हैं।

इसकी रचना दक्कन के दक्षिणी भाग में राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्ष के शासन में हुई। इसका पहला अध्याय दशमलव के चौबीस स्थानों के नाम गिनाता है, शून्य और ऋण संख्याओं के साथ गणित के नियम देता है, और बाद के अध्याय केले के ढेरों, गिरी हुई थैली और तरकश के तीरों के प्रश्न रखते हैं। ब्रह्मगुप्त के शून्य के नियम दो सदी से भी अधिक पहले आ चुके थे, और MacTutor महावीराचार्य की पुस्तक को ब्रह्मगुप्त की पुस्तक का नवीनीकरण बताता है।

एक पाठ्यपुस्तक, जिसके आरंभिक श्लोकों में राजा का नाम है

गणितसारसंग्रह अपनी तिथि स्वयं नहीं देता। जैन गुरु महावीर को नमस्कार के दो श्लोकों के बाद पहला अध्याय छह श्लोक एक राजा की प्रशंसा और उसके राज की समृद्धि की कामना में लगाता है। श्लोक उसे अमोघवर्ष और चक्रिकाभंजन कहते हैं, और अंतिम आशीर्वाद में नृपतुंग का नाम आता है। पाठ के 1912 के संपादक और अनुवादक रंगाचार्य ने उसे राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्ष नृपतुंग के रूप में पहचाना। उन्होंने लिखा कि अभिलेखीय शोध शासन-काल को 814 या 815 से 877 या 878 तक रखता है, और इसलिए पुस्तक नौवीं सदी के मध्य की है।

अभिलेख इस अवधि से मेल खाते हैं। फ्लीट ने 1882 में कन्नड़-भाषी ज़िलों में अमोघवर्ष प्रथम के अभिलेखों की सूची बनाते हुए कन्हेरी की गुफाओं के दो अभिलेख गिनाए, एक शक 773 का (851 से 852 ई., जिसे वे 775 के सुधार के रूप में देते हैं) और एक शक 799 का (877 से 878 ई.)। वंश पर ब्रिटानिका की प्रविष्टि वही शासन-काल, लगभग 814 से 878, देती है और कहती है कि राष्ट्रकूट कन्नड़ बोलते थे। वह जोड़ती है कि अमोघवर्ष कविराजमार्ग के एक हिस्से का रचयिता था, जो सबसे पुरानी ज्ञात कन्नड़ कविता है। ब्रिटानिका वंश के पहले के राजा कृष्ण प्रथम को एलोरा के कैलास मंदिर का श्रेय भी देती है।

गणितज्ञ के बारे में ब्रिटानिका केवल इतना कहती है कि वे जैन थे और अमोघवर्ष के शासन में लिखते थे। सनातन कोले Indian Journal of History of Science के 2025 के एक शोधपत्र में उन्हें दिगंबर जैन कहते हैं, जो अपने पूर्ववर्तियों के उलट खगोलविद नहीं थे और जिनका काम केवल गणित तक सीमित है। MacTutor के अनुसार वे संभवतः मैसूर में या उसके पास जन्मे। रंगाचार्य के संस्करण की भूमिका लिखने वाले डेविड यूजीन स्मिथ का मत था कि महावीराचार्य राजा के दरबार में “रहते प्रतीत होते हैं”। यह आरंभिक श्लोकों से निकला अनुमान है, और रंगाचार्य का अपना वाक्यांश यह है कि लेखक दरबार से “किसी रूप में जुड़ा” था। MacTutor कोई संरक्षक नहीं बताता।

चौबीस स्थान और शून्य के नियम

अध्याय I एक दशमलव संख्या के स्थान इकाई से ऊपर की ओर गिनाता है। छठा लाख है और आठवाँ करोड़, और सूची चौबीसवें स्थान तक जाती है, जिसका नाम महाक्षोभ है। रंगाचार्य की भूमिका नोट करती है कि हर स्थान अपने पिछले स्थान का दस गुना है। यही अध्याय श्लोक 49 से 52 में शून्य के और धनात्मक तथा ऋणात्मक राशियों के नियम तय करता है।

श्लोक कहता है कि किसी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य आता है, और शून्य जोड़ने से संख्या जैसी थी वैसी रहती है। दो ऋणात्मक या दो धनात्मक राशियों को गुणा या भाग देने पर धनात्मक आता है, और एक धनात्मक व एक ऋणात्मक पर ऋणात्मक। घटाई गई धनात्मक राशि ऋणात्मक हो जाती है और घटाई गई ऋणात्मक धनात्मक हो जाती है। धनात्मक या ऋणात्मक राशि का वर्ग धनात्मक होता है। श्लोक का तर्क है कि ऋणात्मक राशि वर्ग नहीं होती और इसलिए उसका वर्गमूल नहीं होता, एक बात जिसे ब्रिटानिका भी दर्ज करती है।

भाग पर श्लोक 49 कहता है कि शून्य से भाग दी गई संख्या अपरिवर्तित रहती है। रंगाचार्य की एक पाद-टिप्पणी साफ़ कहती है कि यह ग़लत है, और भास्कर ने बाद में भागफल अनंत बताया। MacTutor का शून्य का इतिहास भी यही कहता है और नोट करता है कि शून्य से भाग पर ब्रह्मगुप्त के कथनों को सुधारने के महावीर के प्रयास ने उन्हें भूल में डाला। दशमलव प्रणाली और शून्य के चिह्न की व्यापक कहानी भारत और शून्य वाले लेख में है, और भास्कर का काम लीलावती वाले लेख में।

भिन्न, कुट्टक और प्रश्नों वाले श्लोक

MacTutor के अनुसार महावीराचार्य ने भिन्न को इकाई भिन्नों में तोड़ने की विधियाँ दीं, उदाहरण के साथ 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68। तीनों भिन्न सचमुच 2/17 के बराबर जुड़ते हैं, क्योंकि 204 के उभयनिष्ठ हर पर वे 17, 4 और 3 बनते हैं, जिनका योग 24 है। अध्याय III में वे एक संबंधित पहेली रखते हैं, जिसमें पाठक से पाँच, छह या सात अलग-अलग भिन्नों के हर खोजने को कहा गया है जिनके अंश 1 हैं और जो जोड़ने पर 1 होते हैं।

मिश्र प्रश्नों वाले अध्याय VI में कुट्टीकार या कुट्टक है, समीकरणों के पूर्णांक हल की एक विधि जिसे MacTutor यूक्लिड की कलन-विधि पर आधारित बताता है। एक विशिष्ट उदाहरण, श्लोक 117 और आधा, केले के 63 बराबर ढेरों में से एक ढेर का आकार पूछता है। सात फल और जोड़े जाते हैं और कुल 23 यात्रियों में बाँटा जाता है, कुछ बचता नहीं। उत्तरों वाला परिशिष्ट 5 देता है, और गणित ठीक बैठता है: 63 गुणा 5 जमा 7 होता है 322, जो 23 गुणा 14 है।

नियम का संयुक्त रूप क्यों काम करता है, यह रंगाचार्य के नोटों में निकाला गया है। जब एक संख्या को ऐसी दो शर्तें साथ पूरी करनी हों, तो वे दिखाते हैं कि अगला हल पहले हल में दोनों भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य जोड़ने से आता है। वह व्युत्पत्ति उनकी पाद-टिप्पणी में है, महावीराचार्य के श्लोक में नहीं, जो केवल प्रक्रिया देता है।

श्लोक 236 और 237 तीन व्यापारियों का प्रश्न रखते हैं जिन्हें एक थैली मिलती है। पहला कहता है कि थैली के साथ उसके पास बाक़ी दोनों के कुल से दुगुना होगा, दूसरा कहता है तिगुना, तीसरा पाँच गुना। MacTutor पूर्ण संख्याओं में सबसे छोटा उत्तर देता है: थैली में 15 हैं, और व्यापारियों के पास 1, 3 और 5। जाँच: 15 जमा 1 है 16, जो 3 और 5 के योग का दुगुना है। 15 जमा 3 है 18, जो 1 और 5 के योग का तिगुना है। 15 जमा 5 है 20, जो 1 और 3 के योग का पाँच गुना है।

श्लोक 288 तरकश में बँधे तीरों को गिनने का नियम देता है। बाहरी घेरे के तीरों की संख्या में 3 जोड़ो, योग का वर्ग करो, उसमें 3 जोड़ो और 12 से भाग दो। अगला श्लोक 18 बाहरी तीरों का मामला पूछता है, जो 37 देता है। वह है बीच में 1 और 6, 12 तथा 18 के घेरे। नियम इस तथ्य पर टिका है कि सात बराबर वृत्तों में से छह एक सातवें के चारों ओर बैठ जाते हैं, जैसा रंगाचार्य का नोट समझाता है, और कोले, जो इसे सही सूत्र पढ़ते हैं, उसी नोट का हवाला देते हैं।

वृत्त, चतुर्भुज और एक दीर्घवृत्त

क्षेत्रफल अध्याय VII भरते हैं। वृत्त के लिए श्लोक 19 परिधि को व्यास का तीन गुना और क्षेत्रफल को आधे व्यास के वर्ग का तीन गुना मानता है। दोनों सन्निकट हैं, रंगाचार्य की एक पाद-टिप्पणी कहती है, क्योंकि वे पाई को 3 लेते हैं। ब्रिटानिका जोड़ती है कि अधिक सटीक काम के लिए महावीराचार्य ने 10 का वर्गमूल लिया, जो पारंपरिक जैन मान था। स्मिथ ने नोट किया कि ब्रह्मगुप्त और महावीराचार्य दोनों ने 3 और 10 का वर्गमूल लिया, और दोनों को आर्किमिडीज़ या हीरो के काम का पता नहीं लगता।

श्लोक 50 वह सूत्र देता है जो चार राशियों के गुणनफल का वर्गमूल लेता है, जिनमें हर राशि भुजाओं के अर्ध-योग में से एक भुजा घटाने पर बनती है। कोले ध्यान दिलाते हैं कि यह चतुर्भुज के क्षेत्रफल का ब्रह्मगुप्त का सूत्र है, और एक भुजा को शून्य रखने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल आता है। इस पर कि क्या पाठ कहता है कि यह तभी सही है जब चारों कोने एक वृत्त पर हों, विद्वान भिन्न हैं। स्मिथ के अनुसार न ब्रह्मगुप्त और न महावीराचार्य इसका उल्लेख करते हैं। कोले की व्याख्या में यह निहित है, और श्लोक 57 से 59 के उदाहरण सब उसी तरह के हैं।

कोले दीर्घवृत्त को अलग से रेखांकित करते हैं। वे लिखते हैं कि इस ग्रंथ के सिवा किसी भारतीय गणित-रचना में दीर्घवृत्त के माप का सूत्र नहीं है। श्लोक 21 कहता है कि छोटे व्यास का आधा बड़े व्यास में जोड़ो, योग को दुगुना करके परिधि पाओ, और उसे छोटे व्यास के चौथाई से गुणा करके क्षेत्रफल पाओ। 12 और 36 व्यास वाला हल किया उदाहरण उत्तर-परिशिष्ट में 84 और 252 देता है। श्लोक 63 नियमों की एक दूसरी, “सटीक” जोड़ी देता है। कोले के निर्णय में दोनों नियम ग़लत हैं, क्योंकि सही क्षेत्रफल दोनों अर्ध-अक्षों के गुणनफल का पाई गुना है। फिर भी वे इस प्रयास को सराहनीय कहते हैं, क्योंकि उसने भारत में शंकु-परिच्छेदों के अध्ययन की शुरुआत की, एक अध्ययन जो यूनान में बहुत पहले शुरू हो चुका था।

MacTutor के अनुसार पाठ शंख जैसी समतल आकृति के नियम भी देता है, जो अपने व्यासों पर जुड़े दो असमान अर्धवृत्तों से बनती है। वह हायाशी को उद्धृत करता है कि ऐसे सूत्र अब तक केवल महावीर और नारायण की रचनाओं में मिले हैं। ब्रिटानिका के अनुसार क्रमचय और संचय भी पुस्तक में हैं, और वह उन्हें पारंपरिक जैन विषय कहती है। आठवें अध्याय में गोले के आयतन का नियम लगभग सही है, कोले लिखते हैं।

दक्षिण में चलती रही एक पुस्तक

रंगाचार्य की भूमिका उन पांडुलिपियों का वर्णन करती है जिनका उन्होंने उपयोग किया। वे कुल पाँच थीं: एक ग्रंथ लिपि में, पहले पाँच अध्यायों पर संस्कृत टीका के साथ, दो ताड़पत्र प्रतियाँ कन्नड़ लिपि में, एक मैसूर के सरकारी प्राच्य ग्रंथालय से, और एक दक्षिण कन्नड़ के मूडबिद्री के एक जैन मठ से। मैसूर की प्रति में वल्लभ नाम के किसी की छोटी कन्नड़ टीका थी। रंगाचार्य लिखते हैं कि कृति दक्षिण भारत में व्यापक रूप से जानी और सराही जाती लगती है, और ग्यारहवीं सदी में पावुलूरि मल्लना ने उसका तेलुगु पद्य-अनुवाद किया। कोले अनुवाद की यही तिथि देते हैं।

MacTutor फिलियोज़ा को उद्धृत करता है कि पुस्तक, अन्य पद्य-ग्रंथों जितनी संक्षिप्त होते हुए भी, शिक्षण की दृष्टि से “पहले के ग्रंथों पर एक उल्लेखनीय बढ़त रखती है”। 1912 में स्मिथ ने लिखा कि संस्करण ने एक ऐसे लेखक को उजागर किया जो यूरोपीय विद्वानों को लगभग अज्ञात था। रंगाचार्य कहते हैं कि यह बताना आसान नहीं कि भास्कर पुस्तक को जानते थे या नहीं, क्योंकि न भास्कर और न उनका कोई ज्ञात टीकाकार उसे उद्धृत करता या उसके लेखक का नाम लेता लगता है, और यह लेख प्रभाव का कोई दावा नहीं करता।

जहाँ स्रोत अलग हैं

स्मिथ, कोले, ब्रिटानिका और MacTutor की जीवनी, सब पुस्तक को लगभग 850 की बताते हैं। MacTutor का शून्य का इतिहास, जो एक अलग पन्ना है, 830 कहता है। जीवन-तिथियाँ भी भिन्न हैं: MacTutor लगभग 800 से 870 देता है, कोले लगभग 800 से 875, और ब्रिटानिका केवल इतना कहती है कि वे लगभग 850 में सक्रिय थे।

यह दावा कि यह पूरी तरह गणित को समर्पित सबसे पुराना भारतीय ग्रंथ है, MacTutor पर टिका है, जो पुस्तक के बारे में ऐसा कहता है, और कोले पर, जो इसे दोहराते हैं। कोले की अपनी भूमिका कहती है कि श्रीधर की त्रिशतिका, लगभग 750 ई. की, केवल गणित का विवेचन करती है। यहाँ खोले गए स्रोत इन दोनों कथनों में मेल नहीं बिठाते, इसलिए यह लेख उस उत्कृष्टतासूचक शब्द का प्रयोग नहीं करता। रंगाचार्य ने अपनी भूमिका पर फ़रवरी 1912 में मद्रास में हस्ताक्षर किए।