రాష్ట్రకూట రాజు అమోఘవర్షుడి కాలంలో సుమారు క్రీ.శ. 850లో మహావీరాచార్యుడు రాసిన గణిత సార సంగ్రహంలో భిన్నాల నుంచి దీర్ఘవృత్తం వరకు నియమాలు, సాధించిన సమస్యలతో తొమ్మిది అధ్యాయాలు, 1,130కి పైగా శ్లోకాలు ఉన్నాయి

మహావీరాచార్యుడి గణిత సార సంగ్రహం, సుమారు క్రీ.శ. 850లో రాసినది, ఒక జైన గణితవేత్త తొమ్మిది అధ్యాయాల పాఠ్యగ్రంథం. గణిత చరిత్రకారుడు తకావో హయాషి రాసిన ప్రవేశంలో బ్రిటానికా 1,130కి పైగా నియమాలు, సాధించిన ఉదాహరణల శ్లోకాలను లెక్కిస్తుంది. అవి సంఖ్యల పేర్లు, భిన్నాల నుంచి సమీకరణాలు, శ్రేణులు, వైశాల్యాలు, ఘనపరిమాణాలు, నీడల వరకు సాగుతాయి.

ఇది దక్కన్ దక్షిణ ప్రాంతంలో రాష్ట్రకూట రాజు అమోఘవర్షుడి పాలనలో రచించబడింది. దీని తొలి అధ్యాయం ఇరవై నాలుగు దశాంశ స్థానాల పేర్లను చెబుతుంది, సున్నా, రుణ సంఖ్యలతో లెక్కలకు నియమాలు ఇస్తుంది, తరువాతి అధ్యాయాలు అరటి పండ్ల రాశులు, జారవిడిచిన పర్సు, అంబుల పొదిలోని బాణాల గురించి సమస్యలు ఇస్తాయి. బ్రహ్మగుప్తుని సున్నా నియమాలు రెండు శతాబ్దాలకు పైగా ముందే వచ్చాయి, మహావీరాచార్యుడి పుస్తకాన్ని బ్రహ్మగుప్తుని పుస్తకానికి నవీకరణగా మాక్‌ట్యూటర్ వర్ణిస్తుంది.

తొలి శ్లోకాల్లోనే రాజు పేరు ఉన్న పాఠ్యగ్రంథం

గణిత సార సంగ్రహం తన కాలాన్ని తానే ఇవ్వదు. జైన గురువు మహావీరునికి రెండు శ్లోకాల నమస్కారం తరువాత, మొదటి అధ్యాయం ఆరు శ్లోకాలను ఒక రాజును ప్రశంసించడానికి, ఆయన పాలన సమృద్ధిగా ఉండాలని కోరడానికి వెచ్చిస్తుంది. ఆ శ్లోకాలు ఆయనను అమోఘవర్షుడు, చక్రికాభంజనుడు అని పిలుస్తాయి, చివరి ఆశీర్వాదం నృపతుంగ పేరును చెబుతుంది. పాఠం యొక్క 1912 సంపాదకుడు, అనువాదకుడు అయిన రంగాచార్య, ఆయనను రాష్ట్రకూట రాజు అమోఘవర్ష నృపతుంగుడిగా గుర్తించారు. శాసన పరిశోధన ఆ పాలనను 814 లేదా 815 నుంచి 877 లేదా 878 వరకు ఉంచుతుందని, కాబట్టి ఈ పుస్తకం తొమ్మిదో శతాబ్దం మధ్యకు చెందినదని ఆయన రాశారు.

శాసనాలు ఆ కాలానికి సరిపోతాయి. 1882లో కన్నడ మాట్లాడే జిల్లాల్లోని అమోఘవర్ష I నమోదులను జాబితా చేస్తూ ఫ్లీట్, కన్హేరి గుహల వద్ద రెండింటిని పేర్కొన్నారు: ఒకటి శక 773 (క్రీ.శ. 851 నుంచి 852, ఆయన దీన్ని 775కు సవరణగా ఇస్తారు), మరొకటి శక 799 (క్రీ.శ. 877 నుంచి 878). రాజవంశంపై బ్రిటానికా ప్రవేశం అదే పాలనను, సుమారు 814 నుంచి 878 వరకు, ఇస్తుంది, రాష్ట్రకూటులు కన్నడ మాట్లాడేవారని చెబుతుంది. అమోఘవర్షుడు తెలిసిన తొలి కన్నడ కావ్యమైన కవిరాజమార్గంలో కొంత భాగం రచయిత అని కూడా అది జోడిస్తుంది. వంశంలోని మునుపటి రాజు కృష్ణ Iకి ఎల్లోరాలోని కైలాస ఆలయం ఘనతను కూడా బ్రిటానికా ఇస్తుంది.

గణితవేత్త గురించి బ్రిటానికా చెప్పేది ఆయన జైనుడని, అమోఘవర్షుడి పాలనలో రాశారని మాత్రమే. సనాతన్ కోలే, ఇండియన్ జర్నల్ ఆఫ్ హిస్టరీ ఆఫ్ సైన్స్‌లో 2025 నాటి పత్రంలో, ఆయనను దిగంబర జైనుడని, తన పూర్వులలా ఖగోళవేత్త కాదని, ఆయన కృషి గణితానికే పరిమితమని అంటారు. ఆయన బహుశా మైసూరు వద్ద లేదా దాని సమీపంలో జన్మించారని మాక్‌ట్యూటర్ అంటుంది. రంగాచార్య సంచికకు ముందుమాట రాసిన డేవిడ్ యూజీన్ స్మిత్, మహావీరాచార్యుడు రాజు ఆస్థానంలో “నివసించినట్టు కనిపిస్తుంది” అని భావించారు. అది తొలి శ్లోకాల నుంచి చేసిన అనుమితి, రంగాచార్య సొంత మాట ఏమిటంటే రచయిత ఆస్థానానికి “ఏదో విధంగా అనుబంధం” కలిగి ఉన్నారని. మాక్‌ట్యూటర్ ఏ పోషకుడినీ పేర్కొనదు.

ఇరవై నాలుగు స్థానాలు, సున్నా నియమాలు

అధ్యాయం I దశాంశ సంఖ్య యొక్క స్థానాలను ఒకట్ల స్థానం నుంచి పైకి జాబితా చేస్తుంది. ఆరోది లక్ష, ఎనిమిదోది కోటి, జాబితా ఇరవై నాలుగో స్థానం వరకు సాగుతుంది, దాని పేరు మహాక్షోభ. రంగాచార్య ముందుమాట గమనించినట్టు, ప్రతి స్థానం దాని ముందున్నదానికి పది రెట్లు విలువైనది. అదే అధ్యాయంలో 49 నుంచి 52 శ్లోకాలు సున్నాకు, ధన, రుణ రాశులకు నియమాలు నిర్దేశిస్తాయి.

ఒక సంఖ్యను సున్నాతో గుణిస్తే సున్నా వస్తుందని, సున్నాను కూడితే సంఖ్య ఉన్నట్టే ఉంటుందని శ్లోకం చెబుతుంది. రెండు రుణాలను లేదా రెండు ధనాలను గుణిస్తే లేదా భాగిస్తే ధనం వస్తుంది, ఒక్కొక్కటి ఉంటే రుణం వస్తుంది. ధన రాశిని తీసివేస్తే అది రుణంగా మారుతుంది, రుణ రాశిని తీసివేస్తే ధనంగా మారుతుంది. ధన లేదా రుణ రాశి వర్గం ధనమే. రుణం వర్గం కాదు కాబట్టి దానికి వర్గమూలం ఉండదని శ్లోకం తర్కిస్తుంది, ఈ విషయాన్ని బ్రిటానికా కూడా నమోదు చేస్తుంది.

భాగహారం గురించి, సున్నాతో భాగించిన సంఖ్య మారకుండా ఉంటుందని 49వ శ్లోకం చెబుతుంది. ఇది తప్పని రంగాచార్య ఒక పాదసూచనలో స్పష్టంగా అంటారు, తరువాత భాస్కరుడు భాగఫలాన్ని అనంతంగా ఇచ్చారని చెబుతారు. సున్నాతో భాగించడంపై బ్రహ్మగుప్తుని ప్రకటనలను మెరుగుపరచడానికి మహావీరుడు చేసిన ప్రయత్నం ఆయనను పొరపాటులోకి నెట్టిందని గమనిస్తూ మాక్‌ట్యూటర్ సున్నా చరిత్ర అదే మాట చెబుతుంది. దశాంశ వ్యవస్థ, సున్నా గుర్తు గురించిన విస్తృత కథ భారతదేశం, సున్నా గురించిన వ్యాసంలో ఉంది, భాస్కరుని కృషి లీలావతి గురించిన వ్యాసంలో ఉంది.

భిన్నాలు, కుట్టీకారాలు, సమస్యల శ్లోకాలు

భిన్నాన్ని ఏకాంశ భిన్నాలుగా విడగొట్టే పద్ధతులను మహావీరాచార్యుడు ఇచ్చారని, ఉదాహరణ 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68 అని మాక్‌ట్యూటర్ చెబుతుంది. ఆ మూడు భిన్నాలు నిజంగా 2/17కు కలుస్తాయి, ఎందుకంటే ఉమ్మడి హారం 204 మీద అవి 17, 4, 3 అవుతాయి, వాటి మొత్తం 24. అధ్యాయం IIIలో ఆయన సంబంధిత పొడుపు కథ పెడతారు: పైన 1 ఉన్న ఐదు, ఆరు లేదా ఏడు వేర్వేరు భిన్నాల మొత్తం 1 అయినప్పుడు హారాలను కనుగొనమని పాఠకుడిని అడుగుతారు.

మిశ్రమ సమస్యల అధ్యాయం VIలో కుట్టికార లేదా పల్వరైజర్ (పిండి చేసే) పద్ధతి ఉంది, పూర్ణ సంఖ్య సాధనల కోసం యూక్లిడ్ అల్గారిథమ్‌పై ఆధారపడిన పద్ధతిగా మాక్‌ట్యూటర్ దాన్ని వర్ణిస్తుంది. ఒక సాధారణ ఉదాహరణ, శ్లోకం 117 సగం, 63 సమానమైన అరటి పండ్ల రాశులలో ఒక రాశి పరిమాణం ఎంతో అడుగుతుంది. మరో ఏడు పండ్లను కలిపి మొత్తాన్ని 23 మంది ప్రయాణికుల మధ్య ఒక్కటీ మిగలకుండా పంచుతారు. జవాబుల అనుబంధం 5 అని ఇస్తుంది, లెక్క సరిపోతుంది: 63 సార్లు 5 ప్లస్ 7 అంటే 322, అది 23 సార్లు 14.

ఈ సంయుక్త నియమం ఎందుకు పనిచేస్తుందో రంగాచార్య వివరణ గమనికలలో చూపారు. ఒక సంఖ్య ఒకేసారి రెండు అటువంటి షరతులను తీర్చాల్సినప్పుడు, రెండు భాజకాల కనిష్ఠ ఉమ్మడి గుణిజాన్ని మొదటి సాధనకు కలిపితే తదుపరి సాధన వస్తుందని ఆయన చూపిస్తారు. ఆ ఉత్పాదన ఆయన పాదసూచనలో ఉంది, మహావీరాచార్యుడి శ్లోకంలో కాదు, అది పద్ధతిని మాత్రమే ఇస్తుంది.

236, 237 శ్లోకాలు పర్సు దొరికిన ముగ్గురు వ్యాపారులను ప్రస్తావిస్తాయి. పర్సుతో తనకు మిగిలిన ఇద్దరి మొత్తానికి రెట్టింపు ఉంటుందని మొదటివాడు, మూడు రెట్లు అని రెండోవాడు, ఐదు రెట్లు అని మూడోవాడు అంటారు. మాక్‌ట్యూటర్ పూర్ణ సంఖ్యలలో అతి చిన్న జవాబు ఇస్తుంది: పర్సులో 15 ఉంది, వ్యాపారుల దగ్గర 1, 3, 5 ఉన్నాయి. పరిశీలన: 15 ప్లస్ 1 అంటే 16, అది 3 ప్లస్ 5కు రెండు రెట్లు. 15 ప్లస్ 3 అంటే 18, అది 1 ప్లస్ 5కు మూడు రెట్లు. 15 ప్లస్ 5 అంటే 20, అది 1 ప్లస్ 3కు ఐదు రెట్లు.

288వ శ్లోకం అంబుల పొదిలో కట్టిన బాణాలను లెక్కించే నియమం ఇస్తుంది. బయటి వలయంలోని బాణాల సంఖ్యకు 3 కలపండి, ఆ మొత్తాన్ని వర్గం చేయండి, 3 కలపండి, 12తో భాగించండి. తరువాతి శ్లోకం బయట 18 బాణాలు ఉన్న సందర్భాన్ని అడుగుతుంది, దానికి 37 వస్తుంది. అంటే మధ్యలో 1 ప్లస్ 6, 12, 18 వలయాలు. ఆరు సమాన వృత్తాలు ఏడో వృత్తం చుట్టూ సరిపోతాయనే వాస్తవంపై ఈ నియమం ఆధారపడింది, రంగాచార్య గమనిక వివరించినట్టు, దాన్ని సరైన సూత్రంగా చదివే కోలే ఆ గమనికను ఉదహరిస్తారు.

వృత్తాలు, చతుర్భుజాలు, ఒక దీర్ఘవృత్తం

వైశాల్యాలు అధ్యాయం VIIని నింపుతాయి. వృత్తానికి, 19వ శ్లోకం చుట్టుకొలతను వ్యాసానికి మూడు రెట్లుగా, వైశాల్యాన్ని సగం వ్యాసం వర్గానికి మూడు రెట్లుగా తీసుకుంటుంది. రెండూ సుమారు విలువలు, ఎందుకంటే అవి పైని 3గా తీసుకుంటాయని రంగాచార్య పాదసూచన చెబుతుంది. మరింత కచ్చితమైన పని కోసం మహావీరాచార్యుడు 10 వర్గమూలాన్ని, సంప్రదాయ జైన విలువను, వాడారని బ్రిటానికా జోడిస్తుంది. బ్రహ్మగుప్తుడు, మహావీరాచార్యుడు ఇద్దరూ 3ను, 10 వర్గమూలాన్ని వాడారని, ఇద్దరికీ ఆర్కిమిడీస్ లేదా హెరాన్ కృషి తెలిసినట్టు కనిపించదని స్మిత్ గమనించారు.

50వ శ్లోకం నాలుగు రాశుల లబ్ధం యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసే సూత్రాన్ని ఇస్తుంది, ప్రతి రాశి భుజాల అర్ధమొత్తం నుంచి ఒక భుజాన్ని తీసివేయగా వచ్చినది. ఇది నాలుగు భుజాల ఆకారం వైశాల్యానికి బ్రహ్మగుప్తుని సూత్రమేనని, ఒక భుజాన్ని సున్నాగా పెడితే త్రిభుజ వైశాల్యం వస్తుందని కోలే చూపుతారు. నాలుగు మూలలు ఒక వృత్తంపై ఉన్నప్పుడే ఇది సరిపోతుందని పాఠం చెబుతుందా అనే విషయంలో పండితులు విభేదిస్తారు. స్మిత్ ప్రకారం, బ్రహ్మగుప్తుడూ మహావీరాచార్యుడూ దీన్ని గమనించరు. కోలే పఠనంలో అది అంతర్లీనంగా ఉంది, 57 నుంచి 59 శ్లోకాల ఉదాహరణలన్నీ అటువంటివే.

కోలే దీర్ఘవృత్తాన్ని ప్రత్యేకంగా ఎత్తి చూపుతారు. ఈ గ్రంథం కాకుండా, మరే భారతీయ గణిత గ్రంథంలోనూ దీర్ఘవృత్త కొలతకు సూత్రం లేదని ఆయన రాశారు. 21వ శ్లోకం, పొడవైన వ్యాసానికి చిన్న వ్యాసంలో సగాన్ని కలపమని, మొత్తాన్ని రెట్టింపు చేస్తే చుట్టుకొలత వస్తుందని, దాన్ని చిన్న వ్యాసంలో నాలుగో వంతుతో గుణిస్తే వైశాల్యం వస్తుందని చెబుతుంది. వ్యాసాలు 12, 36 ఉన్న సాధించిన ఉదాహరణకు జవాబుల అనుబంధంలో 84, 252 వస్తాయి. 63వ శ్లోకం రెండో, “కచ్చితమైన” నియమాల జతను ఇస్తుంది. కోలే అంచనా ప్రకారం రెండు నియమాలూ తప్పు, ఎందుకంటే నిజమైన వైశాల్యం పై ఇంటూ రెండు అర్ధాక్షాల లబ్ధం. అయినా ఆ ప్రయత్నాన్ని ఆయన మెచ్చదగినదంటారు, ఎందుకంటే అది భారతదేశంలో శంకుచ్ఛేదాల అధ్యయనాన్ని ప్రవేశపెట్టింది, ఆ అధ్యయనం గ్రీసులో ఎంతో ముందే మొదలైంది.

రెండు అసమాన అర్ధవృత్తాలను వాటి వ్యాసాల వెంట కలిపిన శంఖం వంటి సమతల ఆకారానికి కూడా ఈ గ్రంథం నియమాలు ఇస్తుందని మాక్‌ట్యూటర్ చెబుతుంది. అటువంటి సూత్రాలు ఇప్పటివరకు మహావీర, నారాయణుల రచనల్లో మాత్రమే కనిపించాయని హయాషిని ఉటంకిస్తుంది. క్రమచయ సంయోగాలు కూడా పుస్తకంలో ఉన్నాయని బ్రిటానికా అంటుంది, వాటిని సంప్రదాయ జైన విషయాలని పిలుస్తుంది. ఎనిమిదో అధ్యాయంలోని గోళ ఘనపరిమాణ నియమం దాదాపు సరైనదని కోలే రాశారు.

దక్షిణాన వాడుకలో నిలిచిన పుస్తకం

రంగాచార్య ముందుమాట తాను వాడిన ప్రతులను వివరిస్తుంది. అవి మొత్తం ఐదు: మొదటి ఐదు అధ్యాయాలపై సంస్కృత వ్యాఖ్యానంతో గ్రంథ లిపిలో ఒకటి, కన్నడ లిపిలో రెండు తాటాకు ప్రతులు, మైసూరులోని ప్రభుత్వ ప్రాచ్య గ్రంథాలయం నుంచి ఒకటి, దక్షిణ కెనరాలోని మూడబిద్రి జైన మఠం నుంచి ఒకటి. మైసూరు ప్రతిలో వల్లభుడు అనే ఒకరు రాసిన చిన్న కన్నడ వ్యాఖ్యానం ఉంది. ఈ రచన దక్షిణ భారతదేశంలో విస్తృతంగా తెలిసి, ఆదరణ పొందినట్టు కనిపిస్తుందని రంగాచార్య రాశారు, పావులూరి మల్లన పదకొండో శతాబ్దంలో తెలుగు పద్య అనువాదం చేశారు. కోలే అదే అనువాద కాలాన్ని ఇస్తారు.

ఈ పుస్తకం ఇతర పద్య గ్రంథాల అంతగా సంక్షిప్తమైనప్పటికీ, బోధన దృష్ట్యా “ముందటి గ్రంథాల కంటే ముఖ్యమైన ప్రయోజనం కలిగి ఉంది” అని ఫిల్లియోజా అన్నట్టు మాక్‌ట్యూటర్ ఉటంకిస్తుంది. 1912లో ఈ సంచిక యూరోపియన్ పండితులకు దాదాపు తెలియని ఒక రచయితను వెల్లడించిందని స్మిత్ రాశారు. భాస్కరునికి ఈ పుస్తకం తెలుసా లేదా అని చెప్పడం సులభం కాదని, భాస్కరుడు గానీ ఆయనకు తెలిసిన ఏ వ్యాఖ్యాత గానీ దాన్ని ఉటంకించినట్టు లేదా రచయిత పేరు చెప్పినట్టు కనిపించదని రంగాచార్య అంటారు, ఈ వ్యాసం ప్రభావం గురించి ఏ వాదన చేయదు.

మూలాలు ఎక్కడ విభేదిస్తాయి

స్మిత్, కోలే, బ్రిటానికా, మాక్‌ట్యూటర్ జీవిత చరిత్ర అన్నీ ఈ పుస్తకాన్ని సుమారు 850కి చెందినదిగా చెబుతాయి. వేరే పేజీ అయిన మాక్‌ట్యూటర్ సున్నా చరిత్ర 830 అంటుంది. జీవిత కాలాలు కూడా మారుతాయి: మాక్‌ట్యూటర్ సుమారు 800 నుంచి 870, కోలే సుమారు 800 నుంచి 875 ఇస్తారు, బ్రిటానికా ఆయన సుమారు 850లో చురుగ్గా ఉన్నారని మాత్రమే చెబుతుంది.

ఇది పూర్తిగా గణితానికే అంకితమైన తొలి భారతీయ గ్రంథమనే వాదన, పుస్తకం గురించి అలా చెప్పే మాక్‌ట్యూటర్‌పై, దాన్ని పునరుక్తం చేసే కోలేపై ఆధారపడింది. సుమారు క్రీ.శ. 750 నాటి శ్రీధరుని త్రిశతిక గణితాన్ని మాత్రమే చర్చిస్తుందని కోలే సొంత పరిచయం చెబుతుంది. ఇక్కడ చూసిన మూలాలు ఆ రెండు ప్రకటనలను సమన్వయం చేయవు, కాబట్టి ఈ వ్యాసం అతిశయోక్తిని వాడదు. రంగాచార్య 1912 ఫిబ్రవరిలో మద్రాసులో తన ముందుమాటపై సంతకం చేశారు.